【动态规划】NO 123. 买卖股票的最佳时机 III

【动态规划】123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
 

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

四状态解法

​ 虽然归为困难题，但是做完上面的题目其实也不难想到，但是在写完动归转移方程后的边界初始化遇到了点问题。首先最重要的还是动态规划数组dp[i][j]的定义：

• dp[i][0]：第i天不持有股票状态下的最大利润
• dp[i][1]：第i天第一次持有股票状态下的最大利润
• dp[i][2]：第i天第一次不持有股票状态下的最大利润
• dp[i][3]：第i天第二次持有股票状态下的最大利润
• dp[i][4]：第i天第二次不持有股票状态下的最大利润

​ 具体的状态之间的转移就不赘述了，这题的难点还是在边界初始化上，下面是我想到的代码，结果是错的：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        var len = prices.length;
        var dp = new int[len][5];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(var i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);
        }
        for(var item : dp) {
            System.out.println(Arrays.toString(item));
        }
        return Math.max(dp[len-1][4], dp[len-1][2]);
    }
}

​ 控制台打印的信息为：

[0, -1, 0, 0, 0]
[0, -1, 1, 0, 2]
[0, -1, 2, 0, 3]
[0, -1, 3, 0, 4]
[0, -1, 4, 0, 5]

​ 最开始的想法是第一天不可能交易两次，所以第一天的三状态就没有设置，问题就出在这里，这会导致第二条的三状态如果沿用第一天的三状态的话，就会出现不花一分钱就到达了第二次持有股票的状态，这显然是不合理的。

​ 上面分析的一个错误之处就在于第一天不能交易两次，第一天是能够交易两次的：买入、卖出、再买入，所以dp[0][3]也应该初始化为-prices[0]，这么写的另一个好处就是返回值不需要再和第一次持有股票对比了，因为这么做第二次持有股票也会包含第一次持有股票的最大值（因为第一天的买入加卖出消耗了一次）:

		...
		dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        ...
        return dp[len-1][4];
        ...

​ 整体代码为：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        var len = prices.length;
        var dp = new int[len][5];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for(var i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);
        }
        for(var item : dp) {
            System.out.println(Arrays.toString(item));
        }
        return dp[len-1][4];
    }
}

​ 控制台输出：

[0, -1, 0, -1, 0]
[0, -1, 1, -1, 1]
[0, -1, 2, -1, 2]
[0, -1, 3, -1, 3]
[0, -1, 4, -1, 4]

空间优化

​ 因为是重复覆盖，所以可以使用一维数组代替二维数组

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        var len = prices.length;
        var dp = new int[4];
        dp[0] = -prices[0];
        dp[2] = -prices[0];
        for(var i = 1; i < len; i++) {
            dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i]);
            dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] - prices[i]);
            dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] + prices[i]);
        }
        // for(var item : dp) {
        //     System.out.println(Arrays.toString(item));
        // }
        return dp[3];
    }
}