【dp的二分优化】NO300 最长递增子序列

【dp的二分优化】300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

动态规划

​ 比较容易想到，时间复杂度O(N^2)

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        var len = nums.length;
        var dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        var ans = 1;
        for(var i = 1; i < len; i++) {
            for(var j = 0; j < i; j++) {
                if(nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                    ans = Math.max(ans, dp[i]);
                }
            }
        }
        return ans;
    }

二分优化，真想不到这种

​ dp[i]表示长度为i的严格递增子序列的尾部元素的最小值，这句话可能有点绕，举个栗子，对于nums=[10,9,2,5,3,7,101,18]，每个元素都是长度为1的子序列，但是最小的只有一个2，依次类推，对应的dp为[2,3,7,18]。

• 可以看到dp一定是一个递增序列，因为长度为i的最小尾部元素肯定大于长度为i-1的尾部元素，因此这里可以使用二分法来查找
• 为什么使用尾部最小值？因为只要满足大于长度为i的最小尾部元素，那么递增长度就能是i+1

​ 因此思路是首先遍历数组，对于数组的每一个值在dp中查找它大于的尾部最小元素的下标，更新这个下标的值为num值，并且如果下标是最后一个，则增加子序列的长度，可能还是有点绕，举一下上面dp的列子可能就清楚了：

• num = 10，dp=[10]
• num = 9，dp=[9]
• num = 2，dp=[2]
• num = 5，dp=[2, 5]
• num = 3，dp=[2, 3]
• num = 7，dp=[2, 3, 7]
• num = 101，dp=[2, 3, 7, 101]
• num = 18，dp=[2, 3, 7, 18]

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        var len = nums.length;
        var dp = new int[len];
        var ans = 0;
        for(var num : nums) {
            var i = 0;
            var j = ans;
            while(i < j) {
                var mid = (i + j) / 2;
                // 如果大于中间值，应该插入到中间值的右边
                if(dp[mid] < num) {
                    i = mid + 1;
                // 小于等于的时候不能mid-1，只需要更新mid，因为需要在相同长度下用更小的值替换掉这个值，以维持dp数字的定义
                // 比如dp数组为[2, 5]插入为3，则希望二分完的值是5而不是2
                } else {
                    j = mid;
                }
            }
            dp[i] = num;
            if(ans == i) {
                ans++;
            }
        }
        return ans;
    }