nowcoder 202F-平衡二叉树

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题目描述

平衡二叉树，顾名思义就是一棵“平衡”的二叉树。在这道题中，“平衡”的定义为，对于树中任意一个节点，都满足左右子树的高度差不超过 d. 空树的高度定义为0，单个节点的高度为1，其他情况下树的高度定义为根节点左右子树高度最大值 + 1. 一棵在高度上平衡的树，节点数可能不平衡，因此再定义一棵树的不平衡度为这棵树中所有节点的左右子树的节点数之差的最大值。
给定平衡的定义参数d, 你需要求出所有高度为 n 的平衡树中不平衡度的最大值。

输入描述:

两个整数，n, d.0 ≤ n, d ≤ 60

输出描述:

一个整数：所有高度为 n 的平衡树中不平衡度的最大值。

输入

4 1

输出

5

说明

下面这棵树在 d=1 的定义下高度是平衡的，其不平衡度为 5。

题意

在保证二叉树平衡的情况下，构造最大的不平衡度。

分析

首先贪心，最大的不平衡度应该在根节点，应该让它的一棵子树最大，另一棵最小。最大的子树显然是$$$2^{n-1}-1$$$；而最小的子树，首先想到的是用一条$$$n-d-1$$$的链代替，但是对于这条链而言，还应该为每一个节点添加一个小分支，才能使的它是平衡的。
具体的来说，如果用$$$f(n)$$$表示构造一棵高度为$$$n$$$且几乎是由链组成的平衡二叉树的节点数，那么可以让它的左子树和右子树一长一短，再加上它的根节点，就有$$$f(n)=1+f(n-1)+f(n-d-1)$$$，并且显然当$$$n\le 0$$$时$$$f(n)=0$$$，即$$$ f(n)= \begin{cases} 0,& n<=0\\ 1+f(n-1)+f(n-d-1),&n>0\\ \end{cases} $$$
因为f(n)是一个常数，可以开一个dp数组来对f(n)记录从而避免重复计算。

总结

似乎倒着推也行，似乎是有公式的，复杂度咋算啊。

代码

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL dp[65] = { 0,1 };
int n, d;
LL build(int x) {
    if (x <= 0)return 0;
    if (dp[x]>0)return dp[x];
    dp[x] = 1+build(x - 1) + build(x - 1 - d);
    return dp[x];
}
 
int main() {
    while (~scanf("%d %d", &n, &d)) {
        LL left = (1LL << (n - 1)) - 1;
        LL right = build(n - 1 - d);
        printf("%lld\n", left - right);
    }
}