「NOIP2016」愤怒的小鸟
「NOIP2016」愤怒的小鸟
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Description
\(Kiana\) 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。有一架弹弓位于 \((0,0)\) 处，每次 \(Kiana\) 可以用它向第一象限发射一只小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如\(y=ax^2+bx\)的曲线，其中 \(a\)，\(b\) 是 \(Kiana\) 指定的参数，且必须满足 \(a<0\)。当小鸟落回地面（即 \(x\) 轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 \(n\) 只猪，其中第 \(i\) 只猪所在的坐标为 \((x_i,y_i)\)。如果某只小鸟的飞行轨迹经过了\((x_i,y_i)\)，那么第 \(i\)只猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过\((x_i,y_i)\)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第\(i\)只猪产生任何影响。
例如，若两只猪分别位于\((1,3)\)和 \((3,3)\)，\(Kiana\) 可以选择发射一只飞行轨迹为 \(y=−x^2+4x\) 的小鸟，这样两只猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的猪。
这款神奇游戏的每个关卡对来说都很难，所以 \(Kiana\)还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在「输入格式」中详述。
假设这款游戏一共有 \(T\) 个关卡，现在\(Kiana\)想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
Input Format
下面依次输入这 T 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 \(n\)，\(m\) ，分别表示该关卡中的小猪数量和 \(Kiana\) 输入的神秘指令类型。接下来的 \(n\) 行中，第 \(i\) 行包含两个正实数 \(x_i\)，\(y_i\)，表示第 \(i\) 只小猪坐标为 \((x_i,y_i)\)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果 \(m=0\)，表示 \(Kiana\) 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 \(m=1\) ，则这个关卡将会满足：至多用\(\lceil n/3+1 \rceil\)只小鸟即可消灭所有小猪。
如果 \(m=2\) ，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 $\lfloor n/3 \rfloor $ 只小猪。
保证 \(1≤n≤18\)，\(0≤m≤2\)，\(0＜x_i,y_i＜10\)，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如：
\(\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3\)
Output Format
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有猪最少需要的小鸟数量。
simple 1
输入
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出
1
1
simple 2
输入
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
输出
2
2
3
simple 3
输入
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
输出
6
Hint
样例解释 1
这组数据中一共有两个关卡。
第一个关卡与「问题描述」中的情形相同，\(2\) 只猪分别位于 \((1.00,3.00)\) 和 \((3.00,3.00)\)，只需发射一只飞行轨迹为 \(y=−x^2+4x\) 的小鸟即可消灭它们。
第二个关卡中有 \(5\) 只猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 \(y=−x^2+6x\) 上，故 \(Kiana\) 只需要发射一只小鸟即可消灭所有猪。
数据范围
测试点 \(1∼14：2≤n≤12,1≤T≤30\)；
测试点 \(15∼20：2≤n≤18,1≤T≤5\)。
Solution
首先我们 \(n≤18\) 一看就知道是搜索或者是状压
但是这题我们考虑用状压dp来写
首先根据状压的尿性，我们首先要设计一个状态
我们用\(a[i][j]\)来表示一只能打到第\(i\)只猪和第\(j\)只猪的鸟能打到多少只猪
所以每次我们枚举出这一只鸟以后我们可以再用一个\(k\) 循环来判断还有哪些猪能被这只鸟打到
如果第\(k\)只猪也能被这只鸟打到，那么\(a[i][j]|=(1<<k)\)(第几位是\(1\)就表示第几只猪能被这只鸟打到)
但是，问题来了，我们应该如何找出这只鸟呢？
首先，就像题目说的每只鸟说经过的弧线都可以表示成\(y=ax^2+bx\)
所以我们可以根据题目，列出下面的方程
在看下面的解释之前，请你先会逆矩阵求法，矩阵乘法等数学基础
$ y_1=ax_1^2+bx_1\( \)y_2=ax_2^2+bx_2$
然后我们把它变成矩阵，就有
$ \left[
\begin{matrix}
y_1\
y_2\
\end{matrix}
\right]
$ \(=\) \(\left[
\begin{matrix}
x_1^2& x1\\
x_2^2&x2\\
\end{matrix}
\right]\) \(×\) \(\left[
\begin{matrix}
a\\
b\\
\end{matrix}
\right]\)
然后就有
$ \left[
\begin{matrix}
a\
b\
\end{matrix}
\right]
$ \(=\) \(\left[
\begin{matrix}
x_1^2 & x_1\\
x_2^2 & x_2\\
\end{matrix}
\right]^{-1}\) \(×\) \(\left[
\begin{matrix}
y_1\\
y_2\\
\end{matrix}
\right]\)
因为
\(\left[ \begin{matrix} x_1^2&x_1\\ x_2^2&x_2\\ \end{matrix} \right]\) \(=\) \(x_1^2x_2-x_1x_2^2=(x_1-x_2)x_1x_2\)
所以有:
\(\left[
\begin{matrix}
x_1^2&x_1\\
x_2^2&x_2\\
\end{matrix}
\right]^{-1}\) \(=\) \(\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}\) \(\left[
\begin{matrix}
x_2& -x_1\\
-x_2^2&x_1^2\\
\end{matrix}
\right]
\)
(逆矩阵求法)
于是:
$ \left[
\begin{matrix}
a\
b\
\end{matrix}
\right]
$ \(=\) \(\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}\) \(
\left[
\begin{matrix}
x_2&-x_1\\
-x_2^2&x_1^2\\
\end{matrix}
\right]
\) \(×\) \(\left[
\begin{matrix}
y_1\\
y_2\\
\end{matrix}
\right]
\)
最后，我们再把矩阵拆开：
\(a=\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}×(x_2y_1-x_1y_2)\)
\(b=\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}×(x_1^2y_2-x_2^2y_1)\)
最后我们就求出了\(a\) 和\(b\) 了
因为\(x_1\) \(x_2\) \(y_1\) \(y_2\)可以通过枚举知道
然后我们枚举所有状态，再用所有的抛物线去枚举这个状态，假设这个状态为\(i\)，这个抛物线能消灭的猪是\(a[Start][j]\)，其中\(Start\)开始的位置我们可以用一个\(while\)语句来查找，那么用这个抛物线消灭之后变成的状态就是\(a[Start][j]\)，其中\(|\)是按位或运算。dp方程为\(f[i|a[Start][j]]=min(f[i|a[Start][j]],f[i]+1)\)
最后输出答案\(f[(1<<n)-1]\)
所以本题就结束了......
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Re register int
using namespace std;
int N,M,T,a[20][20],f[1<<20],Start;
double A,B;
struct info{
double x,y;
}Pig[20];
double fabs(double x){return x>0?x:-x;}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
memset(f,0x3f,sizeof(f));
memset(a,0,sizeof(a));
scanf("%d%d",&N,&M);
for (Re i=0; i<N; ++i) scanf("%lf%lf",&Pig[i].x,&Pig[i].y);
for (Re i=0; i<N; ++i) a[i][i]|=(1<<i);
for (Re i=0; i<N; ++i)
for (Re j=i+1; j<N; ++j)
if (fabs(Pig[i].x-Pig[j].x)>1e-6){
A=(Pig[j].x*Pig[i].y-Pig[i].x*Pig[j].y)/((Pig[i].x-Pig[j].x)*Pig[i].x*Pig[j].x);
B=(Pig[i].y-A*Pig[i].x*Pig[i].x)/Pig[i].x;
if (A>-1e-6) continue;
for (Re k=0; k<N; ++k) if (fabs(A*Pig[k].x*Pig[k].x+B*Pig[k].x-Pig[k].y)<=1e-6) a[i][j]|=(1<<k);
}
f[0]=0;
for (Re i=0; i<1<<N; ++i){
Start=0;
while ((i>>Start)&1) ++Start;
for (Re j=Start; j<N; ++j) f[i|a[Start][j]]=min(f[i|a[Start][j]],f[i]+1);
}
printf("%d\n",f[(1<<N)-1]);
}
return 0;
}
