归并排序

归并排序介绍

将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。

1. 从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)

2. 从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2; 
② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。

 

下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。

 

归并排序图文说明

归并排序(从上往下)代码

/*
 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 包含两个有序区间的数组
 *     start -- 第1个有序区间的起始地址。
 *     mid   -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
 *     end   -- 第2个有序区间的结束地址。
 */
void merge(int a[], int start, int mid, int end)
{
    int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int));    // tmp是汇总2个有序区的临时区域
    int i = start;            // 第1个有序区的索引
    int j = mid + 1;        // 第2个有序区的索引
    int k = 0;                // 临时区域的索引

    while(i <= mid && j <= end)
    {
        if (a[i] <= a[j])
            tmp[k++] = a[i++];
        else
            tmp[k++] = a[j++];
    }

    while(i <= mid)
        tmp[k++] = a[i++];

    while(j <= end)
        tmp[k++] = a[j++];

    // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
    for (i = 0; i < k; i++)
        a[start + i] = tmp[i];

    free(tmp);
}

/*
 * 归并排序(从上往下)
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     start -- 数组的起始地址
 *     endi -- 数组的结束地址
 */
void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end)
{
    if(a==NULL || start >= end)
        return ;

    int mid = (end + start)/2;
    merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
    merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]

    // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
    // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
    merge(a, start, mid, end);
}

从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：

通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
2. 将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
    将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。
3. 将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
    将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。
    将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。
    将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。

 

归并排序(从下往上)代码

/*
 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
 *             将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     len -- 数组的长度
 *     gap -- 子数组的长度
 */
void merge_groups(int a[], int len, int gap)
{
    int i;
    int twolen = 2 * gap;    // 两个相邻的子数组的长度

    // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
    for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
    {
        merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);
    }

    // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
    // 将该子数组合并到已排序的数组中。
    if ( i+gap-1 < len-1)
    {
        merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
    }
}

/*
 * 归并排序(从下往上)
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     len -- 数组的长度
 */
void merge_sort_down2up(int a[], int len)
{
    int n;

    if (a==NULL || len<=0)
        return ;

    for(n = 1; n < len; n*=2)
        merge_groups(a, len, n);
}

从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：

通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
2. 将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
3. 将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
4. 将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。

 

归并排序的时间复杂度和稳定性

归并排序时间复杂度
归并排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。

归并排序稳定性
归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

 

归并排序实现

#include <iostream>
using namespace std;

merge(int a[],int start,int mid,int end)
{
    int *temp = new int[end-start+1];
    int i=start;
    int j=mid+1;
    int k=0;

    while(i<=mid&&j<=end)
    {
        if(a[i]<=a[j])
            temp[k++]=a[i++];
        else
            temp[k++]=a[j++];
    }

    while(i<=mid)
        temp[k++]=a[i++];

    while(j<=end)
        temp[k++]=a[j++];

    for (i = 0; i < k; i++)
          a[start + i] = temp[i];
 
    delete[] temp;
}
void merge_sort(int a[],int start,int end)
{
    if(a==NULL||start>=end)
        return;

    int mid=(start+end)/2;
    merge_sort(a,start,mid);
    merge_sort(a,mid+1,end);

    merge(a,start,mid,end);
}


int main(){
    int a[]={26,12,8,5,6,8,15,25,35,24,57};
    int start,end,i;
    int len = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));
    merge_sort(a,0,len-1);
    cout << "after  sort:";
    for (i=0; i<len; i++)
        cout << a[i] << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}