kosaraju算法小结

kosaraju算法是用于求有向图的强连通分量的算法之一

 

步骤概要：

1. DFS有向图G，并以后根序记录节点

2. 把存在于记录集中且最后访问节点作为起点，DFS反图GT,并以先根序把节点从记录中剔除；

3. 若此次不能DFS反图GT所有节点，则重复步骤2，直到所有节点都被剔除出记录；每次剔除掉的节点集即为原有向图G的一个强连通分量

 

简要证明：

1. 第一次DFS有向图G时，最后记录下的节点必为最后一棵生成树的根节点。
证明：假设最后记录下节点不是树根，则必存在一节点为树根，且树根节点必为此节点祖先；而由后根序访问可知祖先节点比此节点更晚访问，矛盾；原命题成立

2. 第一次DFS的生成森林中，取两节点A、B，满足：B比A更晚记录下,且B不是A的祖先(即在第一次DFS中，A、B处于不同的生成树中)；则在第二次DFS的生成森林中，B不是A的祖先，且A也不是B的祖先(即在第二次DFS中，A、B处于不同的生成树中)。
证明：假设在第二次DFS的生成森林中，B是A的祖先，则反图GT中存在B到A路径，即第一次DFS生成森林中，A是B的祖先，则A必比B更晚记录下，矛盾；假设在第二次DFS的生成森林中，A是B的祖先，则反图GT中存在A到B路径，即第一次DFS生成森林中，B是A的祖先,矛盾；原命题成立

3. 按上述步骤求出的必为强连通分量
证明：首先，证明2保证了第二次DFS中的每一棵树都是第一次DFS中的某棵树或某棵树的子树。其次，对于第二次DFS中的每棵树，第一次DFS保证了从根到其子孙的连通性，第二次DFS保证了根到子孙的反向连通性(即子孙到根的连通性)；由此，此树中的每个节点都通过其根相互连通。