乘法

机子32bit i3-2120 2GiB 老爷机. 不会汇编.

naive 2

naive比较慢,略

Karatsuba 1.585

对于固定长度的Karatsuba来说,由于它有几个bit的空间开销,能储存的量不如int64,略.

Toom-3 1.463

机器限制,只能用五个i64 mult拼成一个i84 mult -> i168.

设原先两个数是\(A=a_2 n^2 + a_1 n + a_0\)与\(B=b_2 n^2+b_1 n+b_0\).(\(0\le a_2...b_0 < n\))

设\(f_a(n)=a_2 n^2 + a_1 n + a_0\),我们称这个操作为一次^量词插值.

设\(f(n)=f_a(n)f_b(n)\).

(显然,此时我们可以把一个数\(a\)看成一个多项式\(f_a\),结果为多项式\(f_w\),次数为相乘的两个数的多项式的次数之和,那么乘法就几乎是它们的卷积).

考虑如何卷积.

我们可以对5个点插值:

\[\begin{align\*}f(0)&= &a_0b_0 \\\ f(1)&= &(a_2+a_1+a_0)(b_2+b_1+b_0) \\\ f(-1)&= &(a_2-a_1+a_0)(b_2-b_1+b_0) \\\ f(2)&= &(4a_2+2a_1+a_0)(4b_2+2b_1+b_0) \\\ f(\infty)&= &a_2b_2\end{align*} \]

对于w,这个插值类似这样:

\[\begin{align\*} && && && && w_0&=f(0) \\\ w_4& +& w_3& +& w_2& +& w_1& +& w_0&=f(1) \\\ w_4& -& w_3& +& w_2& -& w_1& +& w_0&=f(-1) \\\ 16w_4& +& 8w_3& +& 4w_2& +& 2w_1& +& w_0&=f(2) \\\ w_4&&&&&&&&&=f(\infty) \end{align\*} \]

我们可以把这个方程解出来,那么:

\[\begin{align}w_0&=f(0)\\\ w_4&=f(4)\\\ w_2&=\frac{f(1)+f(2)}{2}-(w_0+w_4)\\\ w_3&=\frac{f(2)+3f(0)-3f(1)+f(-1)-12f(\infty)}{6}\\\ w_1&=f(1)-w_0-w_2-w_3-w_4\end{align} \]

这里使用了5次乘法,一次除三(O(n)),好多次加减法(O(n)),总复杂度\(T(n)=5T(n/3)+O(n)=n^{\log_3{5}}\approx n^{1.463}\)