Random

Random

Problem description

BNUOJ 1082是一道RP题. 它需要你输出一个整数,BNUOJ的SPJ会随机生成一个\(1\le n\le 50\).如果你输出的数等于\(n\),你就AC了.

现在SXBKOJ出了一道推广的题目:题目给定参数\(x\),SPJ会随机生成一个\(1\le n\le x\),如果你输出的数等于\(n\),你就AC了.

你知道这个\(x\),你希望求出你从0提交到AC的期望提交次数.

Input description

一个整数x

Output description

一个浮点数\(p\),假设标准答案为\(u\),如果\(\frac{|p-u|}{u}\le 10^{-10}\),即认为输出正确

Hint

\(x\le 10^{18}\)

Solution

其实是一道傻逼题...

因为每一次对的概率都是\(\frac{1}{x}\),那么

\[p=\frac{1}{x}\cdot \sum_{i\ge 1}i\left(\frac{x-1}{x}\right)^{(i-1)} \]

得出

\[xp=\sum_{i\ge 1}i\left(\frac{x-1}{x}\right)^{(i-1)} \]

记\(l=\frac{x-1}{x}\)

得

\[xp=\sum_{i\ge 1}i\cdot l^{(i-1)}=1+2l+3l^2+4l^3+\dots \]

两倍同时乘上\(l\)

\[lxp=\sum_{i\ge 1}i\cdot l^i=l+2l^2+\dots \]

相减可得

\[xp-lxp=\sum_{i\ge 0}l^i=1+l+l^2+l^3+\dots \]

显然是

\[p=\frac{1}{1-l}=x \]

卧槽....= =|||

注1

\[xp-lxp=(x-lx)p=\left(x-\frac{x-1}{x}\cdot x\right)p=(x-(x-1))p=p \]

注2

设\(A=\sum_{i\ge 0}u^i\),有

\[uA=\sum_{i\ge 0}u^{i+1} \]

显然

\[A-uA=1 \]

那么

\[A=\frac{1}{1-u} \]

注3:调和级数

调和级数

\[A=\sum_{x\ge 1}\frac{1}{x} \]

证明\(A\)发散.

由于

\[\int \frac{1}{x}dx=\ln{x} \]

那么看起来\(A\)确实是发散的.

然后我们要证明它.设\(B=A-1\).

\[B=\sum_{x\ge 2}\frac{1}{x}=\sum_{x\ge 2}\frac{x-1}{x(x-1)}=\sum_{x\ge 2}\sum_{y\ge x}\frac{1}{x(x-1)} \]

我们对

\[\sum_{y\ge x}\frac{1}{x(x-1)} \]

部分求和

\[\sum_{y\ge x}\frac{1}{x(x-1)}=\sum_{y\ge x}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-1} \]

于是

\[B=\sum_{x\ge 2}\frac{1}{x-1}=1+B \]

显然此时\(B\)是发散的,那么\(A\)也是发散的.