组合数取模

组合数取模

求$${n \choose{m}} \bmod p$$

Subtask 0

杨辉三角...

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...

Subtask 1

\[n,m\le 5\times 10^6,n\le p{\color{blue}{\mathtt{:prime}}}\le 10^{18} \]

这个数据范围其实并不良心...因为常数比较大所以...

算法很简单.线性求出阶乘与阶乘的逆元,通过一个大家都知道的转化(pj初赛知识咯...- -)

\[{n\choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

问题就是如何求阶乘的逆元了咯...

杜教的某课件里写了一种办法,可惜看不懂...但是暴力上也兹瓷哦...

当然要\(O(n)\)求逆元的办法啦...

有个黑科技咯...\(i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \left( p \bmod i\right)^{-1}\pmod{p}\)

然后只要乘着模着...就没了?

Subtask 2

\[n,m\le 5\times 10^6,n\le p\le 10^{18} \]

如何呢?

\(p\)不是素数,那么就不能逆元求咯...

其实可以先筛出\(n\)以下的所有素数,对于它们统计\(n!\)的此素因数个数...

\[s_d(n)=\sum_i^{\infty}\lfloor \frac{n}{d^i}\rfloor \]

显然只有\(\log_dn\)项...而素数个数是\(O\left(\frac{n}{\log{n}}\right)\)的...所以这部分复杂度线性...

再减一减...再快速幂依然总共线性...

就好了?

Subtask 3

\[n,m\le 10^{18},p{\color{blue}{\mathtt{:prime}}}\le 10^6 \]

多组数据...

那么我们考虑预处理出所有\(n! \bmod p\)与它们的逆元...显然对于\(n< p\)的情况可做了...

对于剩下的情况,我们考虑Lucas定理:

\[{n\choose m}\equiv {{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\choose{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}}{{{n}\bmod{p}} \choose {m\bmod p}}\pmod{p} \]

就可以递归做咯...

一次递归规模缩小为原来\(\frac{1}{p}\),那么询问时间复杂度\(O\left( \log_pn\right)\)

Subtask 4

\[n,m\le 10^{18},p{\color{blue}{\mathtt{:prime}}}^c\le 10^6 \]

多组数据...

Lucas定理没法用了...

然而换一个角度想...在\(n!\)中含\(p\)因子的个数是可以算出来的..那么我们可以将所有含\(p\)因子的先剔除,剩下的数应该是按照原来的编号\(p^c\)个相乘在\(\bmod p^c\)下一相等的...

含\(p\)因子的数直接递归处理即可..

发一份没测试过的代码:

#define cmax 25
struct Comb_Number_Small2{//O(p^c)
	linear_inverse li;
	ll facn[maxm],infacn[maxm],pp,cc;
	ll pox[cmax];
	inline void init(ll p,ll c){
		li.mx(n,p);
		ll n=1;
		pox[0]=n;
		foxe(i,1,c) n*=p,pox[i]=n;
		facn[1]=1,infacn[1]=1,pp=p,cc=c;
		foxe(i,2,n){
			facn[i]=facn[i-1],infacn[i]=infacn[i-1];
			if(i%p) facn[i]=modmul(facn[i-1],i,p),infacn[i]=modmul(infacn[i-1],li.inv[i],p);
		}
	}
	inline ll facx(ll n){
		ll k=n/pox[cc],a=modpow(facn[pox[cc]],k,pox[cc]);
		return modmul(a,facn[n%pox[cc]],pox[cc]);
	}
	inline ll infacx(ll n){
		ll k=n/pox[cc],a=modpow(infacn[pox[cc]],k,pox[cc]);
		return modmul(a,infacn[n%pox[cc]],pox[cc]);
	}
	inline ll operator()(ll n,ll m){
		if(m>n) return 0;
		ll A=n,B=m,C=A-B;
		int a=calcp(A,pp),b=calcp(B,pp),c=calcp(C,pp);
		ll q=pox[a-b-c];
		ll k=1,tt;
		while(A){
			tt=facx(A);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			A=A/p;
		}
		while(B){
			tt=infacx(B);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			B=B/p;
		}
		while(C){
			tt=infacx(C);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			C=C/p;
		}
		return modmul(k,q,pox[cc]);
	}
};

Subtask 5

\[n,m\le 10^{18},p\le 10^6 \]

其实...这个挺丝播的...

只要分解了后做Subtask 4然后CRT就完事了...