发个题目坑 二模03day1
1.数列(seq2.pas/c/cpp)
题目描述
一个数列定义如下：f(1) = 1,f(2) = 1,f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7。给定 A,B 和 n 的值，要求计算 f(n)的值。
输入格式
仅一行包含 3 个整数 A，B 和 n，其中(1≤ A, B ≤1000, 1 ≤n≤100,000,000)。
输出格式
仅一行，一个整数，即 f(n)的值。
输入输出样例
input: | output:
-----------------------------------
1 1 3 | 2
-----------------------------------
1 2 10 | 5
分析
这是一道比较有意思的题目,虽然比较水,AC算法也不是每人都能想到的啦啦啦.
首先看到输出的数据范围,非常小对不对!$0\le f(n)\le 6$.然后研究这个递推数列的性质.它是一个线性递推数列,也就是可以用矩阵快速幂做.但是这样还是太麻烦了呢.
注意到这个数列像极了Fibonacci数列,嗯,让我们称它为"Coefficient Extended Fibonacci Sequence of Natural Numbers",附个简称叫CEFSNN.虽然这没什么用啊...也是装逼利器对不~
把求f(n)的表达式换一个写法会怎么样呢?
f(n)=((A*f(n-1))mod 7+(B*f(n-2))mod 7)mod 7
然后A,B都是常量嗯.
那么因为 A*f(n-1)mod 7=(A mod 7)*(f(n-1)mod 7)mod 7 嗯,B...同理
A mod 7 也是常量吖.
那么设两个数$x,y \in \mathbb{N}$,只要$f(x)\equiv f(y) \pmod{7}$且$f(x+1)\equiv f(y+1) \pmod{7}$则x与y之间就是一个循环节.
因为前后两个数排列最多49种,寻找循环节长度不会超过49.(如果超过根据鸽笼原理可知肯定有一个更小的循环节,且有一个显然的结论即是若a和b都可作为循环节长度,则gcd(a,b)也可以.扯远了)
这题正解应该就是这个了.
当然有兴趣试试Matrix Multiplication哈.
代码
因为逗逼的po主是先写题解再写题目的所以...(不拿代码讲算法都是耍流氓!!)哎别打我!!我写个不成吗?
#include "cstdio"
int a,b,n,i,p,f[60];
bool h[80];
int main(){
freopen("seq2.in","r",stdin);
freopen("seq2.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);
a%=7;
b%=7;
f[1]=f[2]=1;
h[9]=true;
for(i=3;i<52;++i){
f[i]=(a*f[i-1]+b*f[i-2])%7;
if(n==i){
printf("%d\n",f[i]);
return 0;
}
if(h[f[i]*8+f[i-1]]){
p=i-2;
break;
}else{
h[f[i]*8+f[i-1]]=true;
}
}
printf("%d\n", f[(n-1)%p+1]);
return 0;
}
2.最长路(path.pas/c/cpp)
题目描述
设 G 为有 n 个顶点的有向无环图，G 中各顶点的编号为 1 到 n，且当<i，j>为 G 中的一条边时有i < j。设 w（i，j）为边<i，j>的长度，请设计算法，计算图 G 中<1，n>间的最长路径。
输入数据
第一行有两个整数 n 和 m,表示有 n 个顶点和 m 条边，其中(2≤n≤1500，m≤50000)，接下来 m 行中每行输入 3 个整数 a ，b，v 表示从 a 点到 b 点有条边，边的长度为 v。
输出数据
一个整数，即 1 到 n 之间的最长路径.如果 1 到 n 之间没连通，输出-1。
输入输出样例
input: | output:
-----------------------------------
2 1 |
1 2 1 | 2
题解
良心傻逼题.因为是有向无环图,SFPA大胆做.注意判断连通性和是求最长路.
代码
话说这是一次通过的节奏?但要是我连SPFA都写错我还怎么有脸混OI界?(果然错了呜呜呜呜~~~)
#include <cstdio>
int next[70000],to[70000],hl,head[3000],le[70000];
inline void addEdge(int f,int t,int v){
++hl;
next[hl]=head[f];
to[hl]=t;
le[hl]=v;
head[f]=hl;
}
int i,j,k,l,a,b,c,m,n;
int qh,qt,q[600000],f[3000];
bool iq[3000],vis[3000];
void spfa(){
vis[1]=iq[1]=true;
qt=2;
qh=1;
q[1]=1;
while(qh!=qt){
i=q[qh];
iq[i]=false;
for(j=head[i];j!=0;j=next[j]){
vis[k=to[j]]=true;
l=le[j];
if(f[i]+l>f[k]){
f[k]=f[i]+l;
if(!iq[k]){
iq[k]=true;
q[qt++]=k;
}
}
}
++qh;
}
}
int main(int argc, char const *argv[]){
freopen("path.in","r",stdin);
freopen("path.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=0;i<m;++i){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
addEdge(a,b,c);
}
spfa();
if(!vis[n]){
printf("-1\n");
}else{
printf("%d\n", f[n]);
}
return 0;
}
3. 翻转游戏(flip.pas/c/cpp)
题目描述
翻转游戏是在一个 4 格×4 格的长方形上进行的，在长方形的 16 个格上每个格子都放着一个双面的物件。每个物件的两个面，一面是白色，另一面是黑色，每个物件要么白色朝上，要么黑色朝上，每一轮你只能翻 3 至 5 个物件，从而由黑到白的改变这些物件上面的颜色，反之亦然。每一轮被选择翻转的物件遵循以下规则：
1、从 16 个物件中任选一个。
2、翻转所选择的物件的同时，所有与它相邻的左方物件、右方物件、上方物件和下方物件(如果有的话)，都要跟着翻转。以下为例：
bwbw wwww bbwb bwwb
这里"b"表示该格子放的物件黑色面朝上、"w"表示该格子放的物件白色朝上。如果我们选择翻转 第三行的第一个物件（如图所示），那么格子状态将变为：
bwbw bwww wwwb wwwb
游戏的目标是翻转到所有的物件白色朝上或黑色朝上。你的任务就是写一个程序来求最少的翻转 次数来实现这一目标。
输入格式
包含 4 行，每行 4 个字符，每个字符"w" 或 "b"表示游戏开始时格子上物件的状态。
输出格式
仅一个整数，即从给定状态到实现这一任务的最少翻转次数。如果给定的状态就已经实现了目标 就输出 0，如果不可能实现目标就输出"Impossible"。
输入输出样例
input: | output:
-------------------------
bwwb |
bbwb | 4
bwwb |
bwww |
题解
压位+BFS.
将这个长方形的每一个格子都用二进制保存,这个数可以保存到一个int类型里;然后用位运算xor一个数表示一次翻转,BFS类似于SPFA搜索即可.
其实很快的.
代码
#include "cstdio"
#include <cstring>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int op[16]={19, 39, 78, 140, 305, 626, 1252, 2248, 4880, 10016, 20032, 35968, 12544, 29184, 58368, 51200};
int q[600000],qh,qt;
bool iq[80000],ok;
int i,j,k,s,f[80000],mi;
char p[10];
int main(){
freopen("flip.in","r",stdin);
freopen("flip.out","w",stdout);
k=1;
for(i=0;i<4;++i){
scanf("%s\n",p);
for(j=0;j<4;++j){
s|=(p[j]=='b'?k:0);
k<<=1;
}
}
memset(f,1,sizeof f);
q[0]=s;
f[s]=0;
qt=1;
mi=0x7fffffff;
if(s==65535||!s){
printf("0\n");
return 0;
}
while(qh!=qt){
i=q[qh];
iq[i]=false;
if(f[i]>=mi-1){
++qh;
continue;
}
for(j=0;j<16;++j){
k=i^op[j];
if(f[k]>f[i]+1){
f[k]=f[i]+1;
if(k==65535||!k){
ok=true;
mi=f[k];
}
if(!iq[k]){
iq[k]=true;
q[qt++]=k;
}
}
}
++qh;
}
if(ok){
printf("%d\n", mi);
}else{
printf("Impossible\n");
}
return 0;
}//妈旦说好的TG组难度呢?上次还考平衡树来着...
