【C++】Manacher算法
Manacher算法可以在O(n)的时间复杂度解决最长回文串问题。
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字符串预处理
为了避免讨论奇偶性,首先对原始字符串进行预处理,也就是在每个字符间隙加上#
,即将aab
变为#a#a#b#
。当指向#
时,代表回文串长度为偶数,否则为奇数。
string t = "#";
for (char c : s) { // 输入字符串为s
t += c;
t += "#";
}
获取以当前位置为回文串中心的最长回文串长度
我们使用一个dp数组记录以每个位置为中心的最长回文串长度。从图中可以看出dp[i]
与dp[mirror]
有很大的关系。实际上,我们需要讨论dp[mirror]
与maxRight - i
的大小关系,从而确定dp[i]
的取值。在此过程中,需要注意center
和maxRight
的更新。
dp[mirror] < maxRight - i
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此时,mirror
处对应的最长回文串被包含在center
处对应的最长回文串中,根据center
处的回文串对称性可以作出上图。易得dp[i] = dp[mirror]
。
dp[mirror] == maxRight - i
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2241359/202104/2241359-20210421174739237-1530426991.png)
此时,我们需要继续判断红箭头所指位置是否可以继续中心扩展。
dp[mirror] > maxRight - i
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2241359/202104/2241359-20210421175036770-1616428056.png)
由于存在maxRight
,根据mirror
与center
的对称性,此时做中心扩展必定不会成功(否则以center
为中心的最长回文串一定会更长),可以得到dp[i] = maxRight - i
。
获取原始字符串中最长回文串对应的起始位置以及长度
分别用maxLen
与begin
表示。举个例子,原始字符串为aaba
,预处理后为#a#a#b#a#
。此时最长回文串为aba
,对应的dp[5] = 3
(臂长为3,对应#a#
),正好为aba
的长度。起始位置为1
,而i - maxLen
为2,相减后剩余字符串为#a
,恢复到原始字符串中需要除以2。
if (dp[i] > maxLen) {
maxLen = dp[i];
begin = (i - maxLen) / 2;
}
代码
将上述讨论统一起来,可以得到:
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
string t = "#";
for (char c : s) {
t += c;
t += "#";
}
int maxRight = 0, center = 0; // 当前回文串最远能到达的的右边界和其中心
int maxLen = 1, start = 0; // 原字符串中最长回文串对应的起始位置和长度
int n = t.size();
int dp[n];// 存储臂长
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i] = i < maxRight ? min(dp[2 * center - i], maxRight - i) : 0;
if (i + dp[i] < maxRight) continue;
int left = i - dp[i], right = i + dp[i]; // 初始化中心扩展位置
while (--left >= 0 && ++right < n && t[left] == t[right]) dp[i]++; // 中心扩展
maxRight = i + dp[i], center = i;
if (dp[i] > maxLen) { // 更新原始字符串中的起始位置和长度
maxLen = dp[i];
start = (i - maxLen) / 2;
}
}
return s.substr(start, maxLen);
}
};
不修改原始字符串的代码
模拟包含#
的情况。
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int maxRight = 0, center = 0;
int maxLen = 1, start = 0;
int n = s.size() * 2 + 1;
int dp[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i] = i < maxRight ? min(dp[2 * center - i], maxRight-i) : 0;
if (dp[i] + i < maxRight) continue;
int left = i - dp[i], right = i + dp[i];
while(--left >= 0 && ++right < n && (left % 2 == 0 || s[left / 2] == s[right / 2])) dp[i]++;
maxRight = i + dp[i], center = i;
if (dp[i] > maxLen){
maxLen = dp[i];
start = (i - maxLen) / 2;
}
}
return s.substr(start, maxLen);
}
};