【剑指Offer-49】丑数

问题

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

示例

输入： n = 10
输出： 12
解释： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。

解答

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        int a = 0, b = 0, c = 0;
        int dp[n]; dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = min(min(dp[a] * 2, dp[b] * 3), dp[c] * 5);
            if (dp[i] == dp[a] * 2) a++;
            if (dp[i] == dp[b] * 3) b++;
            if (dp[i] == dp[c] * 5) c++;
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

重点思路

本题要求解丑数序列，先考虑丑数存在怎样的递推公式。设有一个大于5的丑数x，则x/2、x/3或x/5必定是之前序列中的某一个丑数。假设我们已经有一个丑数序列{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}，则将如下三个序列与原数列合并去重后，一定能得到更长一段丑数序列。

nums2 = {1*2, 2*2, 3*2, 4*2, 5*2, 6*2, 8*2}
nums3 = {1*3, 2*3, 3*3, 4*3, 5*3, 6*3, 8*3}
nums5 = {1*5, 2*5, 3*5, 4*5, 5*5, 6*5, 8*5}

因此，可以考虑使用三个指针a, b, c，它们对应的数分别乘以2, 3, 5作为当前dp位的丑数候选。我们选择其中最小一项作为当前dp位的丑数。通过该方法计算得到的丑数序列正确的原因为：

• 唯一性：乘法后等于该丑数的指针全部需要后移，这就是上面提到的去重操作，能保证加入dp数组的丑数唯一；
• 完备性：三个指针从左到右逐个数字遍历，保证了每个经过的丑数候选要么是重复的，要么已经加入dp数组。