【剑指Offer-20】表示数值的字符串

问题

请实现一个函数用来判断字符串是否表示数值（包括整数和小数）。

示例

字符串"+100"、"5e2"、"-123"、"3.1416"、"-1E-16"、"0123"都表示数值，
但"12e"、"1a3.14"、"1.2.3"、"+-5"及"12e+5.4"都不是。

解答1：确定有限状态自动机（DFA）

class Solution {
public:
    bool isNumber(string s) {
        int tansfer[9][5] = { // 状态转移矩阵
            {0, 1, 2, 4, -1},
            {-1, -1, 2, 4, -1},
            {8, -1, 2, 3, 5},
            {8, -1, 3, -1, 5},
            {-1, -1, 3, -1, -1},
            {-1, 6, 7, -1, -1},
            {-1, -1, 7, -1, -1},
            {8, -1, 7, -1, -1},
            {8, -1, -1, -1, -1}
        };
        int state = 0; // 初始状态
        for (char i : s) { // 遍历输入字符串
            if (i == ' ') state = tansfer[state][0];
            else if (i == '+' || i == '-') state = tansfer[state][1];
            else if (isdigit(i)) state = tansfer[state][2];
            else if (i == '.') state = tansfer[state][3];
            else if (i == 'e' || i == 'E') state = tansfer[state][4];
            else state = -1;
            if (state == -1) return false; // 遇到错误状态立即返回false
        }
        return state == 2 || state == 3 || state == 7 || state == 8 ; // 满足几个正确的最终状态则返回true
    }
};

重点思路

本题使用有限状态自动机。根据字符类型和合法数值的特点，先定义每个字符输入前的状态，再作出状态转移矩阵，最后编写代码即可。

根据题目给出的示例以及一些尝试，需要特别注意的要求有：

• 前后可以有任意数量空格；
• 小数点前后至少有一处有数值；
• E、e后不允许存在小数。

根据以上要求，我们列举一个尽可能复杂的满足要求的字符串+1.2E-2，参考这个字符串开始定义状态，这个阶段不需要考虑状态冗余的问题。我们不仅需要把不同字符类型定义为不同状态，还需要把相同类型但在不同前后文状态的字符定义为不同状态。例如上述例子中，1.2与-2都表示数字，但E前后对数字的要求是不同的，不能简单地定义为一个状态。另外，小数点前后的数字也不能定义为一个状态。同理，小数点前是否存在数字也对后续状态有影响（例如1.可以，.不行）。

根据以上结论，此题所有状态的定义是：0.初始状态；1.前空格；2.E、e前的正负号；3.小数点前的数；4.前面有数字的小数点；5.前面没数字的小数点；6.小数点后的数字；7.E、e；8.E、e后的正负号；9.E后的数字；10.后空格。

我们建立以上状态对应的转移矩阵：

	空格	+、-	数字	小数点	E、e
0	1	2	3	5	-1
1	1	2	3	5	-1
2	-1	-1	3	5	-1
3	10	-1	3	4	7
4	10	-1	6	-1	7
5	-1	-1	6	-1	-1
6	10	-1	6	-1	7
7	-1	8	9	-1	-1
8	-1	-1	9	-1	-1
9	10	-1	9	-1	-1
10	10	-1	-1	-1	-1
列出该矩阵后，我们可以开始简化状态。整个检查流程如下：

1. 除开转移到自身和转移到对方的那一项状态（如6: 0, 7, 4, 6, 6, 9与7: 0, 6, 4, 6, 7, 9可以合并），合并其余转移状态完全相同的状态（状态0与状态1，状态4与状态6）；
2. 重复第一条直到没有满足要求的状态。

其实稍微看一下就可以了，有冗余的状态也就输入状态转移方程的时候多打点字。本题删除冗余后的状态为：0.初始状态或前空格；1.E、e前的正负号；2.小数点前的数；3.前面有数字的小数点；4.前面没数字的小数点或者小数点后的数字；5.E、e；6.E、e后的正负号；7.E后的数字；8.后空格。最终得到的状态转移矩阵为：

	空格	+、-	数字	小数点	E、e
0	0	1	2	4	-1
1	-1	-1	2	4	-1
2	8	-1	2	3	5
3	8	-1	3	-1	5
4	-1	-1	3	-1	-1
5	-1	6	7	-1	-1
6	-1	-1	7	-1	-1
7	8	8	9	-1	-1
8	8	-1	9	-1	-1

最后，我们需要确定哪些状态可以用来当最终状态。本题可以作为最终状态的为2、3、7、8。