【LeetCode-375】猜数字大小 II

问题

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

我从 1 到 n 之间选择一个数字，你来猜我选了哪个数字。

每次你猜错了，我都会告诉你，我选的数字比你的大了或者小了。

然而，当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。直到你猜到我选的数字，你才算赢得了这个游戏。

给定 n ≥ 1，计算你至少需要拥有多少现金才能确保你能赢得这个游戏。

示例

n = 10, 我选择了8。
第一轮: 你猜我选择的数字是5，我会告诉你，我的数字更大一些，然后你需要支付5块。
第二轮: 你猜是7，我告诉你，我的数字更大一些，你支付7块。
第三轮: 你猜是9，我告诉你，我的数字更小一些，你支付9块。
游戏结束。8 就是我选的数字。
你最终要支付 5 + 7 + 9 = 21 块钱。

解答

class Solution {
public:
    int getMoneyAmount(int n) {
        int dp[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i] = 0;
        for (int j = 2; j <= n; j++) {
            for (int i = j - 1; i > 0; i--) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j] + i;
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1] + j);
                for (int k = i + 1; k < j; k++)
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][k - 1], dp[k + 1][j]) + k);
            }
        }
        return dp[1][n];
    }
};

重点思路

假设输入n=6，则我们能猜的数字集合为[1, 2, 3, 4, 5, 6]，假设猜的是4，则有可能猜中，或者猜大或猜小。

如果猜中的话就获胜。若猜大了，则下一个状态为[1, 2, 3]，反之为[5, 6]，对这两个状态做上述相同的讨论，取这两者的最大值，则为选择为4时保证能获胜金额。

题目要求至少需要多少现金，意思为在1-6的所有选择中选取最小的一个金额，该金额能保证选取该数字的条件下能通过最坏的情况。典型的minmax问题。可以从题目中得到简单的判别关键词：“确保”代表MAX，“至少”代表MIN。

我们用dp[start][end]中的值来存储从start开始到end结束这个集合中保证猜中需要的最小金额，状态讨论如上。最终得到不包含边界的状态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]) + k)，其中k为从i到j的遍历。

最后就是更新策略的讨论了，也就是说该怎么循环。假设我们想要更新dp[1][4]，那么我们需要的状态为dp[2][4]、dp[3][4]、dp[1][2]、dp[1][3]。很容易能看出我们需要的所有状态所在的位置在(1, 4)所在行的左边、所在列的下边。由于start小于等于end，所以我们需要更新的为右上角。已知对角线为0，则外循环为沿对角线向右下角延伸，内循环为从对角线出发向上到边界。