最小生成树 学习笔记

前言

最小生成树是最小权重生成树的简称。

通俗来讲就是，一个有 \(n\) 个点的无向连通图，选出其中 \(n-1\) 条边使图联通，每条边都有权值，要求权值和最小。

更详细的解释可参考 OI Wiki。

Kruskal 算法

Part1. 前置芝士

并查集

Part2. 思想

Kruskal 算法（应该是）最好理解也最好写的最小生成树算法，核心思想是贪心。

算法步骤如下：

1. 读入 \(m\) 条边，按边权排序。
2. 重复执行 \(m\) 次，每次取出最小边。
3. 判断是否在生成树内，若不在，合并集合，更新代价。

有人就会问了，明明只需 \(n-1\) 条边，为什么执行 \(m\) 次？

其实是可以的，当边数达到 \(n-1\) 可以直接退出，但是当边数达到 \(n-1\) 后，无论添加哪条边，都会构成环而无法添加，所以，上述算法是正确的。

Part3. 代码实现

struct edge{
    int x,y,w;
    bool operator<(const edge&_)const{return w<_.w;}
}e[maxn];

int fa[maxn];
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].w;
    }
    sort(e+1,e+m+1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
        if(x!=y){
            fa[x]=y;
            ans+=e[i].w;
        }
    }
    cout<<ans;
}