12th 2022/7/11 RMQ专题复习

分为三类吧

线段树

这种数据结构挺有用的，使用范围是时间，看着办嘛，$O(n\log n)$的算法，修改加入查询都是$O(\log n)$

然后建树$O(n\log n)$

看着办

大概思路就是将一个节点看做是一段区间，然后左子右子继承各区间的一半这样

实现还有各种创新

如【GDOI2005】山海经

这种合并左右壁的

空间：4N

时间：如上

树状数组

首先知道lowbit函数

就是$lowbit(x)=xand(x⨁(x-1))$

然后加入就是影响到后面的，所以就是

while(k<=n){
    f[k]+=delta;
    k+=lowbit(k);
}

然后求呢，树状数组不能求区间最大值，因为它一次只能求1-n的值

求的话，就是看前面的了

while(k>0){
    sum+=f[k];
    k-=lowbit(k);
}

然后时间与线段树一样

空间是N

但别看它码量少，它的功能不如线段树

前缀和

这个。。。

打个标题就算了

水沝㴇淼㵘爆了

倍增

一大利器

以$f_i$的形式存着，表示着$2^i$的意义，

方便转移，因为$f_{i-1}$

就是它的二分之一范围

应用之一：ST表

求区间最大值的，离线算法

有数$a_{1...n}$

设$S{T}_{i,j}$

为$max(a_{j...j+2^i-1})$

然后转移就是枚举i,j，然后$S{T}_{i,j}=max(S{T}_{i-1,j},S{T}_{i-1,j+2^{i-1}})$

也挺好想的哈

当然，初值就是$S{T}_{0,i}=a_i$

最后求答案

因为倍增的区间不一定能刚好覆盖l-r这个区间，嗯，其实也行，因为是倍增嘛，可以用倍增大片大片地跳

但这里再给出一个方法

就是找到起始位为l，能覆盖l-r区间左边一半的区间，然后再找到末尾为r，能覆盖l-r区间右半边的区间，然后求着两个区间的最大值就是整个区间的最大值了

这里给出代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,a[100001];
int f[21][100001];
int l,r,s,len;
int max(int x,int y){
	return x>y?x:y;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[0][i]=a[i];
	}
	int l=log2(n),p=1;
	for(int i=1;i<=l;i++){
		for(int j=1;j+2*p-1<=n;j++){
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+p]);
//			printf("%d ",f[i][j]);
		}
//		printf("\n");
		p*=2;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		s=log2(r-l+1);
		len=pow(2,s);
		printf("%d\n",max(f[s][l],f[s][r-len+1]));
	}
}

应用之二：树套树、二维树状数组

这两个，就是求区间$f_{l1...r1,l2...r2}$的值了啊

套起来用就行

树状数组直接二重循环

线段树就是先找一维，再找另一维，分开两个函数大比较轻松，当然，一个函数中，分成四份向下查找那也行

总结

这便是RMQ了啊，比起谈论，更重要的是注意细节

嗯，当然，还有运用