学习笔记：模拟退火
引言
一谈到模拟退火，大家都知道是玄学算法，但是他是如何\(A\)题的呢？
以下为正文：
\(Part.1\) 从和\(OI\)无关的内容说起
模拟退火，即模拟金属退火这一过程，来实现最优解的寻找。
金属退火，对于我们似乎很遥远了，那我们举个实际点的例子吧。
学过化学的都知道，在蒸发结晶时，我们会在蒸发皿还有部分溶剂时停止加热，用余热蒸干剩余液体。
这就是一个退火过程，它的实质就是降温。
这样的好处是，在达到目的的前提下，尽量减少了能源（热量）消耗。
这是一个双赢过程。
\(Part.2\) 模拟退火针对的问题
模拟退火是一种通用的算法，特别是对于最优解问题。
所以所有最优解问题都可以用模拟退火，它是一种实用性较高的算法。
对于每个最优解问题，只要套上模拟退火，即使不能\(AC\)，也能得到一个可观的的分数。
\(Part.3\)模拟退火的最简单问题
还记得三分法这个题吗？
我们如果不能保证在\([l,r]\)内只有一个峰值，该如何寻找最值呢？
考虑一个无脑的解法，我们维护一个扫描线，按精度从一边向另一边扫，找到峰值后就贪心的认为是最优解。
不过这样显然是错的
最优解可能要先翻过这座山。
考虑全扫一遍，这样的复杂度爆炸。
那我们以一定的概率向前扫，当然是在保存现有最优解的前提下。
当然，这样还会被卡，如果峰值很远，那就会\(TLE\)。
既然已经很玄学了，那就更玄学一点吧：
我们考虑直接随机生成点，进行测试。
似乎正确性提高了不少
偷偷地告诉你，这就是模拟退火的一般过程。
\(Part.4\) 如何退火
就像算法的名字一样，直接模拟就好了。
我们形象的设参数：
\(T\)代表退火的初始温度，\(\mathrm\Delta(0<\mathrm\Delta<1)\)代表降温系数，\(T_0\)代表退火的终止温度，即退到此温度后火就没有用了。
- 这里的降温系数可以理解为单位时间内温度降低到原来的\(\mathrm\Delta\)倍，用代码实现就是这样的：
T*=delta;
\(Part.5\) 这样的参数有何用
这些参数在随机数生成时起着至关重要的作用，一般来说有两个：
\(1\).生成变量：
我们在退火的过程中要记录一个基准值，即退火的标准。
我们假设要生成一个变量\(X\)，那么就要在基准数\(x\)的基础上加上一个随机的值，通常是这样实现的：
X=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*T;
慢慢来说，此处的RAND_MAX是指随机数的值域，即rand()\(\in[0,RAND\_MAX]\)，RAND_MAX大概是32768左右，那么前面那一大坨的值域就成了
\(2\).退火标准的确定（即上文中的\(x\)）：
考虑贪心。
如果我们找到一个可以碾压现有最优解的值，我们就贪心的认为：可能有更优解在此解周围，我们就希望以这个点基准进行随机找点，把基准值设成他。
如果并无法碾压暂时性的最优解呢？
那我们不能完全抛弃（如果完全抛弃就沦落成无脑贪心了），只以一个概率接受此基准，但并不改变最优解（当然要保存最优解了）。
不知是哪位大神提出了这个概率的最佳值：
（公式好丑啊......
这里的\(\mathrm\Delta X\)指现在解与现有最优解的差值，我们这里保证\(\mathrm\Delta X<0\),\(T\)指现在的温度。
用程序实现如下：
if(exp((now-ans)/T)*RAND_MAX>rand()) x=X;
\(ps\):\(\exp x\)指\(e^x\)。
考虑一下为什么这样实现。
应该都可以理解的。
\(Part.6\) 此算法为什么玄学
废话，那么多随机数怎么会不玄学
我们在这里讨论如何使其正确性提高。
\(1.\)卡时间
我们可以多跑几次模拟退火算法，来提高正确性。
就是这样（时限\(1s\)）：
while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<0.9)SA();
//模拟退火算法英文简称SA。
//上面那一句将时间的单位由计算机时间单位转化为秒
\(2\).调参
模拟退火最刺激的就是调参了
一般要调的参数\(T,\mathrm\Delta,T_0,srand()\)值。
多随机几次，比如：
srand(19260817),srand(rand()),srand(rand());
随机参数好玩
\(Part.7\) 此算法为什么能\(AC\)
有rp作保障
这时候我们就要注意退火参数的实际意义了。
观察：
\(1\).生成实验变量：
就是这一句：
X=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*T;
//注意位运算的优先级，括号不要忘打。
我们发现随着退火，随机量变动变小，准确的说，我们大范围随机了多次，认为越来越接近最优解，效果是这样的：
很形象吧。
\(2.\)接受概率：
if(exp((now-ans)/T)*RAND_MAX>rand()) x=X;
显然\(T\)越小，\(\dfrac{\mathrm\Delta X}{T}\)越小（注意分子是负值），我们接受的概率就越小，还是贪心，温度越低，越接近最优解。
这就是它的神奇之处。
\(Part.8\) 时间复杂度
我们首先考虑一次\(SA\)的复杂度。
显然有方程:
易得：
我们设验证解的时间复杂度是\(\mathcal T(n)\),那么一次模拟退火的时间复杂度是：
如果像上面那样卡时限：
while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<0.9)SA();
时间复杂度就是\(\mathcal O(\text{能过})\)好了。
\(Part.9\) 例题及相关解法
首先，我们尝试用模拟退火算法解决三分法这个题。
链接上面挂上了。
直接上代码了：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;
int n;
double fuc[20],l,r;
double ansx,ans=-1e10;
double f(double g,int n)
{
double x=fuc[n];
for(int i=1;i<=n;i++) x=g*x+fuc[n-i];
return x;
}
void SA()
{
double T=10000,delta=0.993,T_0=1e-14;
double x=ansx;
double X;
while(T>T_0)
{
X=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*T;
X=max(l,X),X=min(r,X);
//我们要将X限制在给定区间内
double now=f(X,n);
if(now>ans) x=X,ansx=x,ans=now;
else if(exp((now-ans)/T)*RAND_MAX>rand()) x=X;
T*=delta;
}
return;
}
void work(){while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<0.07)SA();}
//注意时限只有100ms
int main()
{
srand(19260817),srand(rand()),srand(rand()),srand(rand());
cin>>n>>l>>r;
for(int i=n;i>=0;i--) cin>>fuc[i];
ansx=(l+r)/2;
//选中间值作为生成基准容易接近正解，这是模拟退火中常见的技巧
work();
printf("%.5lf\n",ansx);
return 0;
}
了解这些之后，你就能切紫题了：
题目链接：P1337 [JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX
模拟退火奶一口。
根据一个神奇的能量最小原理-->戳我看百科
我们只需计算系统内的能量合即可，即确定绳结点坐标\((x_0,y_0)\)，最小化：
分析：
随机化坐标，模拟退火即可：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;
#define MAXN 1005
double ansx,ansy,ans=1e18;
int n;
double xx[MAXN],yy[MAXN],m[MAXN];
double sumx=0,sumy=0;
double check(double x,double y)
{
double en=0;
for(int i=1;i<=n;i++) en+=sqrt((xx[i]-x)*(xx[i]-x)+(yy[i]-y)*(yy[i]-y))*m[i];
return en;
}
void SA()
{
double T=10000,delta=0.993,T_0=1e-14;
double x=ansx,y=ansy;
double X,Y;
while(T>T_0)
{
X=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*T;
Y=y+((rand()<<1)-RAND_MAX)*T;
double now=check(X,Y);
if(now<ans) x=X,y=Y,ansx=x,ansy=y,ans=now;
else if(exp((ans-now)/T)*RAND_MAX>rand()) x=X,y=Y;
T*=delta;
}
return;
}
void work(){while ((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<0.9) SA();}
int main()
{
srand(19260817),srand(rand()),srand(rand());
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&xx[i],&yy[i],&m[i]),sumx+=xx[i],sumy+=yy[i];
ansx=sumx/n,ansy=sumy/n;
//仍然找平均处
work();
printf("%.3lf %.3lf\n",ansx,ansy);
return 0;
}
你以为没了？
确实没了
只是博主仅仅写了这两道题而已，我们还是那样说：
模拟退火是一种通用的算法，特别是对于最优解问题。
\(Part.10\) 模拟退火的短处
虽然模拟退火能解决大多数最优解问题，不过在一些情况下，不能指望用模拟退火\(AC\)。
\(1\).检查一次的时间复杂度过大。
这时无法多次退火以达到最优解，直接自闭。
\(2\).函数模型存在数论函数
数论函数是散点形的函数，我们就不能贪心的认为更优解存在于最优解旁。
这样可以拿一些分，不过\(AC\)希望渺茫。
\(Part.11\) 参考资料：
M_sea:浅谈玄学算法——模拟退火；
我们神奇的大脑。
终于讲完辣！（给个赞再走呗，客官n(≧▽≦)n）。
