学习笔记：分层图（主要是最短路）

不能再咕咕了，学了点好东西。

引入

分层图是啥呢？
看到几乎没有讲这个的（那我也不讲了），那我简单说下吧
将节点分在不同有特点的层次中形成的图。
就是这样子的：

可以发现，每层都是一样的，当然，这不是分层图的唯一构造，具体的话......看后边吧

分层图最短路

讲的清楚的真的少......

一般模型

对一个图，可以选择若干条边进行转换，求最短路。
一脸懵逼？？
那就看题吧。

\(T1\).

题目链接：P4568 [JLOI2011]飞行路线
看起来毫无头绪，只因为不会分层图。
我们依题意构造\(k+1\)层相同原边权的图，然后每层有联系的点(即相连的点）连上边权为\(0\)的边,跑常规最短路即可。
注意的事：
\(1\).沟通不同层之间的边只连相邻层，且方向是从编号小的层到编号大的层。
其实很简单，我们如果往上走就浪费次数了且一步用多次免费也是不允许的。
\(2\).如果没有用\(k\)次免费就到了，怎么办？
我们考虑将每一层的终点与下一层（或最后一层）的终点连上边权为\(0\)的点。
这样，如果没有用完即到达（即到达的终点不在最后一层），这样保证有一个花费为\(0\)的“虚假路径”。
（盗张图，这位大佬的图没有连终点，那就脑补一条从\(4\)到\(9\)的有向边吧：
对于样例：

其实就是很套路的题啦。

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=220005;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN],vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
	int to,nxt,w;
}e[50005*42+15];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
	e[++cnt].to=v;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].w=c;
	head[u]=cnt;
}
void dij()
{
	while(!q.empty())
	{
		int g=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[g]) continue;
		vis[g]=1;
		for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
		{
			int j=e[i].to;
			if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
			{
				dis[j]=dis[g]+e[i].w;
				q.push(make_pair(dis[j],j));
			}
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
		add(l,r,g),add(r,l,g); 
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			add(n*(j-1)+l,n*j+r,0);
			add(n*(j-1)+r,n*j+l,0);
			add(n*j+l,n*j+r,g);
			add(n*j+r,n*j+l,g);
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++) add(n*(i-1)+t,n*i+t,0);
	q.push(make_pair(0,s));
	for(int i=0;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf; 
	dis[s]=0;
	dij();
	printf("%d\n",dis[n*k+t]);
	return 0;
}

分析：时间复杂度是多少呢？
显然这个图有\((k+1)n\)个节点，那么复杂度是\(O(kn\log kn)\)；
那么一般来说，空间开多大保险呢？
对于点数组（存点信息的）有\((k+1)n\)个点，要开这么大，
对于边数组（存边信息的）\(2(k+1)n\)(\(k+1\)层无向图)\(+2kn\)(沟通两层的，来来回回，比如有\(3--4\)的边，就要在\(3.i\)和\(4.i+1\)之间与\(4.i\)和\(3.i+1\)之间连边)\(+k\)（沟通终点的边）\(=(4k+2)n+k\),可以当结论记住。
\(ps\)：对于分层图最短路，这并不是唯一的做法，可以进行\(dp\)，不过博主太菜，没有看懂，有兴趣可以看\(OI\;Wiki\)。

\(T2\).

题目链接：
P4822 [BJWC2012]冻结
传说中爆搜能过，不过正解是分层图最短路。
我们类比\(T1\),发现每层图的连接边权值赋为原权值的一半即可。

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=2555;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN],vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
	int to,nxt,w;
}e[201005];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
	e[++cnt].to=v;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].w=c;
	head[u]=cnt;
}
void dij()
{
	while(!q.empty())
	{
		int g=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[g]) continue;
		vis[g]=1;
		for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
		{
			int j=e[i].to;
			if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
			{
				dis[j]=dis[g]+e[i].w;
				q.push(make_pair(dis[j],j));
			}
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
		add(l,r,g),add(r,l,g); 
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			add(n*(j-1)+l,n*j+r,g/2);
			add(n*(j-1)+r,n*j+l,g/2);
			add(n*j+l,n*j+r,g);
			add(n*j+r,n*j+l,g);
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++) add(n*i,n*(i+1),0);
	q.push(make_pair(0,1));
	for(int i=1;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf; 
	dis[1]=0;
	dij();
	printf("%d\n",dis[(k+1)*n]);
	return 0;
}

\(T3\).

题目链接：P2939 [USACO09FEB]Revamping Trails G
双倍经验？！
和\(T1\)是一样的，只不过数组忘了\(+k\)炸了\(n\)次。

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=220005;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN];
int vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
	int to,nxt,w;
}e[4100055];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
	e[++cnt].to=v;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].w=c;
	head[u]=cnt;
}
void dij()
{
	while(!q.empty())
	{
		int g=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[g]) continue;
		vis[g]=1;
		for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
		{
			int j=e[i].to;
			if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
			{
				dis[j]=dis[g]+e[i].w;
				q.push(make_pair(dis[j],j));
			}
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
		add(l,r,g),add(r,l,g); 
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			add(n*(j-1)+l,n*j+r,0);
			add(n*(j-1)+r,n*j+l,0);
			add(n*j+l,n*j+r,g);
			add(n*j+r,n*j+l,g);
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++) add(n*i,n*(i+1),0);
	q.push(make_pair(0,1));
	for(int i=1;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf; 
	dis[1]=0;
	dij();
	printf("%d\n",dis[(k+1)*n]);
	return 0;
}