学习笔记：卢卡斯定理（并没有学会）

并不会证，但总结还是需要的呢。

\(Lucus\)定理

描述：（公式有点多，还是盗图吧）：

其中：

就是个\(p\)进制下的分解，模拟实现就好了。
数据范围：\(1\leqslant n,m,p\leqslant1×10^5\)。
\(Q:\)定理神奇是挺神奇的，但我们不能直接算吗，复杂度也只是预处理阶乘和逆元，妥妥的过啊？
然后就打了个真·暴力：

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
int fac[MAXN],t,m,n,p;
int x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}
int inv(int a,int b){exgcd(a,b);return (x+b)%b;}
void get_fac(int r)
{
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=r;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
}
int com(int a,int b)
{
	int g=1ll*fac[b]*fac[a-b]%p;
	g=inv(g,p);
	return 1ll*fac[a]*g%p;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
		get_fac(p);
		int ans=com(n+m,n)%p;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
} 

\(WA\)了之后就去下载数据，然后就是自闭。
请教大佬后知道有时无法得出逆元，如：

\[C_{100}^{99}\;mod\;3 \]

显然会出锅，这时用\(Lucus\)，避免了这个悲剧（由于\(p\)进制分解后每项系数都\(<p\)）。
实现方法多样，比如说迭代和递归，然后大佬们全部在线处理阶乘，手玩下发现是对的，难以理解，所以蒟蒻我只能直接离线预处理了\(qwq\)。
这样的时间复杂度是\(O(T(\log_pn\log_2n+p))\)的，可以通过本题。
下面都有的：

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
long long fac[MAXN],t,m,n,p;
long long x,y;
void exgcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}
long long inv(long long a,long long b){exgcd(a,b);return (x+b)%b;}//逆元
void get_fac(int r)//预处理阶乘
{
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=r;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	return;
}
long long com(long long a,long long b)//算组合数
{
	if(b>a) return 0;
	if(a==b) return 1;
	if(b>a-b) b=a-b;
    //上面是是组合数的性质，保证运算变小的，但是只对在线算法有效，不过你加上也无妨
	long long g=fac[b]*fac[a-b]%p;
	g=inv(g,p);
	return fac[a]*g%p;
}
//迭代实现 
/*int lucas(int n,int m,int p)
{
	if(m>n) return 0;//迭代的需要注意这个（虽然我不知道为啥）
	int ans=1;
	while(m)
	{
		ans=(ans%p*com(n%p,m%p)%p)%p;
		n/=p,m/=p;//有一个没了后边就都是不用算了	
	}
	return ans%p;	
}*/
//递归实现：
int lucas(int n,int m,int p)
{
	if(!m) return 1;
	else return (com(n%p,m%p)%p)*(lucas(n/p,m/p,p)%p)%p;	
} 
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
		get_fac(p+1);//+1可以不用 
		printf("%lld\n",lucas(n+m,n,p)%p);
	}
	return 0;	
} 

挺神奇的。