一个小证明(题解 P5425 Part1)
所以这道题为什么可以这样做
嗯,我也不知道,不过我是来填坑的。
\(Q\):为什么要把牛分成\(1\),\(1\)......\(N-K+1\)这样的\(K\)组呢?
\(A\):我们设第\(i\)组分到\(n_i\)头牛,当然我们知道共有\(\dfrac{N(N-1)}{2}\)条可连的边,保证被吃掉的边最多即可。
显然,被吃掉的边数为
\(\sum\limits_{i=1}^K \dfrac{n_i(n_i-1)}{2}= \dfrac {\sum\limits_{i=1}^K n_i^2-\sum\limits_{i=1}^K n_i}{2}=\dfrac {\sum\limits_{i=1}^K n_i^2-N}{2}\)
是\(\sum\limits_{i=1}^K n_i^2\)决定着大小。
又因为
\(\sum\limits_{i=1}^K n_i^2 =\)(\(\sum\limits_{i=1}^K n_i\))\(^2\)\(-2\sum\limits_{i=1}^K\sum\limits_{j=1}^K(i!=j)n_in_j\)
那我们应保证\(2\sum\limits_{i=1}^K\sum\limits_{j=1}^K(i!=j)n_in_j\)最小,回想一个小学的结论,相同的周长的矩形中,正方形的面积最大,即长宽相差越大,面积越小,正可以推广到这里。
得证。