数论系列之中的一个元线性同余方程（组）

数论，在ACM道路上走的越来越远，提起数论，都是从整除開始。而一元线性同余方程（组）的解，也要从整除起源。

提起整除问题，最负盛名的是欧几里得算法和扩展欧几里得算法。在这里我就不再赘述，详情请见我的博客：

http://blog.csdn.net/qq_27599517/article/details/50888092

而一元线性同余方程（组）的问题的解法源于扩展欧几里得算法。

、

对于一元线性同余方程ax≡b(mod c)来说，这个方程等价于ax=by+c，因为y是未知数。所以能够领y=-有，即有ax+by=c。

形如上述方程，非常显然是扩展欧几里得算法的式子，而满足扩展欧几里得算法的条件是c%gcd(a,b)==0，假设满足这个条件，就能够求解出来x的值。

详细解法例如以下：

令 g=gcd(a,b);

     a=a0×g;

     b=b0×g;

所以式子能够改写成为 a0x+b0y=c/g;此时gcd(a,b)=1。运用扩展欧几里得算法能够解出一个x，但x不唯一，x是一个模b的系，所以x的取为

x,x+b0,x+2b0，……x+(g-1)b0。

对于一元线性方程组而言，这个问题就复杂了一些。

一元线性方程组是形如

m≡a0(mod b)
m≡a1(mod b)
m≡a2(mod b)
m≡a3(mod b)
⋮

的式子求x的解。

不难发现，我们拿出两个式子来 ：
m≡a0(mod b0)
m≡a1(mod b1)

不难看出此时式子能够改写为：

m=a0x+b0

m=a1y+b1

所以能够得到一个式子就是 a0x+a1y=b1-b0，这样就成为了扩展欧几里得算法的式子。再用这个x求出m。

这时我们引入第三个式子 m≡a2(mod b2)。此时m=a2y+b2；因为引入了新的式子，所以此时m的值也法生变化，姑且将上一个解出的m称之为m0。

由于x的解是一个系，所以有a0(x+a1/gcd(a0,a1)*k)+b0;所以有a0x+(0a1/gcd(a0,a1))k+b0=m。

m0=a0x+b0，所以得出一个新的递推式即(a1a2/gcd(a1,a2))k+a2y=b2-m0;
由此能够一步一步求解出x的值

附代码：

long long a1,b1,a2,b2;
        int flag=1;//推断是否有解
        
        //a1,b1的值在循环外赋值
        for(int i=1;i<n;i++){
            if(flag==0)continue;//及时退出
            //a2,b在循环内赋值
            long long a,b,c;
            a=a1,b=a2;
            c=b2-b1;
            long long g=gcd(a,b);
            a/=g,b/=g;
            _gcd(a,b,x,y);
            if(c%g!=0){
                flag=0;
                continue;
            }
            c/=g;
            x=((x*c)%b+b)%b;//保证x>0;
            x=x*a1+b1;
            b1=x;
            a1=b*a1;
        }
        //最后b1是终于解