图论算法-欧拉回路 专题训练

欧拉路径的定义

如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。
如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

其实就是 一笔从起点经过所有边到达终点（欧拉路） 和 一笔从起点经过所有边回到起点（欧拉回路）

无向图

欧拉回路：只要每个点的度数均为偶数即可。
因为每个点的度数为偶数，所以可以将整个图看做由数个环嵌套而成，因为环一定能找到一条欧拉回路，所以整个图也能找到欧拉回路。

欧拉路径：如果有且仅有两个点的度数为奇数，就会存在一条从这两个中的一个到达另一个的欧拉路径。
假如在这两个点间连一条边，就能够从任意一个点出发找到一条欧拉回路，当出发点为这两个点中的一个时，切断这条边，就成为一条欧拉路径了。

有向图

欧拉回路：所有点的入度等于出度，就存在一条欧拉回路。
这里可以换一种角度来理解，对于每一个点，每次进入这个节点，就一定有一条路可以出去，因此必定存在一条欧拉回路。
欧拉路径：最多有一点入度等于出度+1，最多有一点入度等于出度-1，就会有一条从出度大于入度（没有则等于）的点出发，到达出度小于入度（没有则等于）的点的一条欧拉路径。证明方法与无向图的欧拉路径类似。

Hierholzer算法

算法流程（无向图）：

1.判断奇点数。奇点数若为0则任意指定起点，奇点数若为2则指定起点为奇点。

2.开始递归函数Hierholzer(x):
　　循环寻找与x相连的边(x,u):
　　　　删除(x,u)
　　　　删除(u,x)
　　　　Hierholzer(u);
　　将x插入答案队列之中

3.倒序输出答案队列

对于该图，算法的执行流程如下：
1.找到该图没有奇点，从1开始进行Hierholzer算法。
2.删边1-2 递归到2
3.删边2-3 递归到3
4.删边3-7 递归到7
5.删边7-1 递归到1
6.1无边，1加入队列，返回
7.7加入队列，返回
8.删边3-4 递归到4
9.删边4-5 递归到5
10.删边5-6 递归到6
11.删边6-3 递归到3
12.3加入队列，返回
13.6加入队列，返回
14.5加入队列，返回
15.4加入队列，返回
16.3加入队列，返回
17.2加入队列，返回
18.1加入队列，返回

答案队列为：1 7 3 6 5 4 3 2 1。反向输出即为答案。

有向图除判断是否存在有一点点不同以外同理。

对于该题【欧拉路径/欧拉回路】模板题，要求输出答案的最小序列。所以起点首先要选的尽量小，然后在边的储存上面加一点小trick。
使用邻接表储存图时，除了用链式前向星还可以用vector储存。我们可以把vector换成multiset，这样就可以保证该点前往的下一个点是最小值，同时保证了答案的最小值。

LuoguP1341无序字母对

//欧拉路径：两个点为奇数度；
//欧拉回路，全为偶数度
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 150
using namespace std;
int n,f[MAXN][MAXN]/*邻接矩阵存图*/,deg[MAXN],fa[MAXN]/*并查集求联通*/;
char ans[2000];//存答案
int find(int x)
{
    if(fa[x]!=x)
        fa[x]=find(fa[x]);
        return fa[x];
}
void dfs(int cur)
{
    for(int i=64;i<=125;i++)
    {
        if(f[cur][i])
        {
            f[cur][i]=f[i][cur]=0;
            dfs(i);
        }
    }
    ans[n--]=cur;//倒序存
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=64;i<=125;i++)fa[i]=i;//A~z
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        string str;cin>>str;
        f[str[0]][str[1]]=f[str[1]][str[0]]=1;
        deg[str[0]]++;deg[str[1]]++;
        fa[find(str[0])]=find(str[1]);//建立连通图
    }
    int cnt=0,head=0;
    for(int i=64;i<=125;i++)
    {
        if(fa[i]==i&&deg[i])cnt++;//判断祖宗节点
    }
    if(cnt!=1){cout<<"No Solution"<<endl;return 0;}//不连通图
    cnt=0;
    for(int i=64;i<=125;i++)
    {
        if(deg[i]&1){
            cnt++;
            if(head==0)head=i;
        }
    }
    if(cnt&&cnt!=2){cout<<"No Solution"<<endl;return 0;}//没有欧拉路径
    if(head==0)
    {
        for(int i=64;i<=125;i++)
            if(deg[i]){head=i;break;}
    }
    dfs(head);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Luogu2731骑马修栅栏

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 2000
using namespace std;
multiset<int>to[MAXN];
vector<int>q;
int n;
void dfs(int cur)
{
    for(auto i=to[cur].begin();i!=to[cur].end();i=to[cur].begin())
    {
        to[cur].erase(i);
        to[*i].erase(to[*i].find(cur));
        dfs(*i);
    }
    q.push_back(cur);
}
int main()
{
    cin>>n;
    //此题数据保证有解，否则需要并查集判断是否联通
    //题意是欧拉路径/回路
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;cin>>a>>b;
        to[a].insert(b);
        to[b].insert(a);
    }
    int head=0;
    for(int i=1;i<=1024;i++)
    {
        if(!to[i].empty()&&head==0)head=i;//选择最小的点
        if(to[i].size()&1){//找到奇度
            head=i;
            break;
        }
    }
    dfs(head);
    for(int i=q.size()-1;i>=0;i--)cout<<q[i]<<endl;
    return 0;
}