括号匹配问题 区间DP经典问题

题目链接 http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=15

给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：
[]是匹配的
([])[]是匹配的
((]是不匹配的
([)]是不匹配的

分析：要求要添加多少个，可以求出最大匹配的长度，这样剩下的都是没有匹配的，所以每个对于一个匹配就可以了。

即 答案 = 字符串长度 - 最大匹配长度。

首先考虑怎么样定义dp让它满足具有通过子结构来求解、

定义dp [ i ] [ j ] 为串中第 i 个到第 j 个括号的最大匹配数目

那么我们假如知道了 i 到 j 区间的最大匹配，那么i+1到 j+1区间的是不是就可以很简单的得到。

那么 假如第 i 个和第 j 个是一对匹配的括号那么dp [ i ] [ j ] = dp [ i+1 ] [ j-1 ] + 2 ;

那么我们只需要从小到大枚举所有 i 和 j 中间的括号数目，然后满足匹配就用上面式子dp，然后每次更新dp [ i ] [ j ]为最大值即可。

更新最大值的方法是枚举 i 和 j 的中间值，然后让 dp[ i ] [ j ] = max ( dp [ i ] [ j ] , dp [ i ] [ f ] + dp [ f+1 ] [ j ] ) ;

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 110
int N, dp[maxn][maxn];
string s;
int main(){
    scanf("%d", &N);
    
    while(N--){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        cin>>s;
        for(int len = 1; len < s.size(); len++){
            for(int i = 0, j = len; j < s.size(); i++,j++){
                if(s[i] == '(' && s[j] == ')' || s[i] == '[' && s[j] == ']')
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                for(int k = i; k < j; k++)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k][j]);
            }
        }
        printf("%d\n", s.size()-dp[0][s.size()-1]);
        
    }
    
    return 0;
}

类似题 POJ 2955   http://poj.org/problem?id=2955

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 110
int N, dp[maxn][maxn];
string s;
int main(){
    while(cin>>s){
        if(s == "end") break;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        
        for(int len = 1; len < s.size(); len++){
            for(int i = 0, j = len; j < s.size(); i++,j++){
                if(s[i] == '(' && s[j] == ')' || s[i] == '[' && s[j] == ']')
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                for(int k = i; k < j; k++)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k][j]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[0][s.size()-1]);
        
    }
    
    return 0;
}