URAL1004 Sightseeing Trip Floyd 最小环

题意：求有权无向图的最小环，环至少包括三个点。

 

思路：

设map[i,j]表示i到j的的距离。输入有重边，在处理输入的时候只保存最短边。

取环中一个点k，左右点是ij则map[i,k]和map[k,j]是固定的不能变，可改变的是没有加入k点的i,j之间的最短路,设为dist[i,j]。那么最短环的长度表示为dist[i,j]+map[i,k]+map[k,j]。

Floyd的最外层循环为k时，最短路还没有用k和更新ij之间的最短路，恰好符合要求。所以在还没有用k更新ij之间的最短路之前更新环，每次更新环时更新路径即可。

 

算法步骤：

输入输出Floyd算法的框架，三个循环，在更新路径前更新环的最短路径。题解一和其他的题解(都是DP)代码很短，步骤很清晰，所以算法步骤粗略写写。

 

算法复杂度：

输入输出两个循环不超过O(n²)，时间主要消耗在Floyd算法的框架里，三个n次循环，所以时间复杂度O(n³)，最多是二维数组，空间复杂度是O(n²)

 

代码： 

const int maxn=110; 
int dist[maxn][maxn], map[maxn][maxn]; //最短距离，原图
int pre[maxn][maxn]; // pre[i,j]记录最短路里，j前面一个点
int path[maxn];      // 答案路径
int n, m, num, minc; // num记录path里有多少个点，minc是最短环长度
 
int main()
{
    int  u, v, cost;
while(cin >> n && n){ 
      if(n<0) break;
        cin >> m; 
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                dist[i][j]=map[i][j]=INF;
                pre[i][j]=i;
            }
      }
      for(int i=1; i<=m; i++){
          scanf("%d %d %d",&u,&v,&cost);
          if(dist[u][v]>cost)   //重边
              map[u][v]=map[v][u]=dist[u][v]=dist[v][u]=cost;
      } 
    // floyd
    minc=INF;
for(int k=1; k<=n; k++){
// k还没加入(i,j)最短路，更新最短环
        for(int i=1; i<k; i++){
            for(int j=i+1; j<k; j++){
                int  ans=dist[i][j]+map[i][k]+map[k][j];
                if(ans<minc){  //找到最优解
                    minc=ans;
                    num=0;
                    int p=j;
                    while(p!=i){  //逆向寻找前驱遍历的路径并将其存储起来
                        path[num++]=p;
                        p=pre[i][p];
                    }
                    path[num++]=i;
                    path[num++]=k;
                }
            }
        }
        //用k更新i到j的最短路径
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]){
                    dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
                    pre[i][j]=pre[k][j];
                }
            }
        }
    }// end Floyd 
    if(minc==INF) puts("No solution.");
    else{
        printf("%d",path[0]);
        for(int i=1; i<num; i++)
            printf(" %d",path[i]);
        puts("");
     }
}
   return 0;
}