完全数

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称此数是完全数。例如：6=1+2+3，（包含1，但不包括本身）

首先穷举它的因数，这里优化一下。根据因数的性质，不小于2的自然整数的可能样式：

2x.....x最大因数=C
3x.....x最大因数=C
.............
优化：根据观察，数C的最大因数（不包括本身）一定小于或等于它的一半，即最大因数<=C/2。这个可以减少穷举的次数。

for(i=1;i<=C/2;i++)
if(C%i==0) /*则i是C的因数

假如在穷举中需要保存完全数的因数，可以存放在数组中..

/*第一种解法：存因数于数组中*/
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int a[15];
  int i,C,n,s;
  for(C=2;C<1000;C++)
  {
     n=-1;
     s=C;
     for(i=1;i<=C/2;i++)/*最大因数<=C/2*/
      {
               if(C%i==0)
              {      

　　　　　　　　 n++;/*统计因数个数*/
                 s=s-i;/*循环减去因数*/
                 a[n]=i;/*数组存储因数*/
              }
      }
       if(s==0)
         {
           　cout<<"完全数:"<<C<<endl;
        　　 for(i=0;i<=n;i++)/*打印因数*/
             cout<<a[i]<<" ";
             cout<<endl;
          }
  }
return 0;
}

/*第二种解法*/
/*直接算出结果*/

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int C,i,m;
    for(C=2;C<1000;C++)
        {
            for(m=0,i=1;i<=C/2;i++)
            {
                if(!(C%i))/*是因数*/
                m+=i;
            }
        if(m==C)
        cout<<C<<" ";
        }
    return 0;
}

补充：2016/3/27号，新的优化方法。
根据因数出现的形式来观察，比如100这个数：
100=1*2*4*5*｜10｜*20*25*50*100，发现100的因数都是成对出现的（左右对称），以100的平方根10为分界线，左边最大的因数，一定不会超过平方根10，所以试商只用小于或等于整数平方根的数即可。（这个也证明了，为什么检测一个数是否为素数，只用小于或等于它的平方根以下的数试商的原因！）

完全数的定义中不包含本身，所以求和时，先将m置为1，当它能被x整除时，再加上它的另一半对称的数即可，即：
如果C%x==0，则m=m+x+C/x，此外，还有一个特别的地方，如果取的平方根恰好是原数的平方根，最后还要减去一次平方根，因为多加了一次！

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int C,i,m,v;
    for(C=2;C<1000;C++)
        {
            m=1;
            v=sqrt(C);/*取平方根限定试商范围*/
            for(i=2;i<=v;i++)/*2～sqrt(C)*/
            {
                if(!(C%i))/*是因数*/
                {                       
                    m=m+i+C/i;
                }
            }
            if(C%v==0)
            {
                m=m-v;
            }
                if(m==C)
                cout<<C<<" ";
        }
    return 0;
}