函数方程的递归解法

通项、递推、递归的区别：
通项公式，是用自然数n的表达式表示数列的“通项”f(n)的公式，
递推，是由含有数列前边的若干项的表达式表示后边某一项的公式。
如果表达式中仅含数列前边的若干项（允许有常数系数），这个公式就叫递归公式。

从函数方程观点看，递推，递归公式实际都是函数方程，而通项公式则是它们的解。
为了方便，把只含数列中的项（可以带有系数）的递推公式叫递归公式，一般形式：
一旦给出通项公式，数列便被唯一地确定。但递推特别是递归公式却不然，给出一个递归公式后，会有无穷多数列都满足这个递归公式，这是因为，由k阶递归公式的数列，它的前k项无法由递归公式本身确定。但给出数列的前k项的值后，递归公式就唯一地确定了数列，把数列前k项的值叫初值条件。同一个递归公式，由于初值条件不同，将得到不同的数列。

这段话还是容易理解的。做一个简易例子，假如f(n+1)=2f(n)，容易看出是一个等比数列，公比为2，符合这种条件的等比数列有无穷个，只有限定初项才能形成唯一一个数列。

构造首项为1，公比为q的等比数列，使它满足递归公式：
最后得到：
称之为递归公式的特征方程。

如果两个通项公式满足递归公式，则
1.每一项乘以一个常数仍满足
2.相乘之后，两个通项公式的各项再相加，依然符合递归公式。

 

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