<数据结构>图的最小生成树
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最小生成树问题
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最小生成树问题(Mininum Spanning Tree MST): 在给定无向图中,确定一棵树T,满足三个条件:a.包含图的所有顶点;b.边都是图的边;c.整棵树的边权之和最小
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MST的性质: 包含n-1个结点;连通;树不唯一(最小边权和唯一)
Prim算法:点贪心
基本思想:类Dijstra
与Dijstr思想类似,只不过d[]的含义不同
d[v]:v与已被标记的顶点构成的集合s的最短距离。
毕竟,要求的是最小生成树,而集合s中的顶点又都在树中,所以需要关注顶点v与集合s的最短距离而不是与源点s(根节点)的最短距离。
而用中介点(此时是结合s中的所有点而不是到源点s距离最小的点)优化其他点的思想就是Dijstra算法的内核,所以只需要改变Dijstra算法中d[]数组的含义,即可顺利实现Prim算法。
如对Dijstra算法不太熟悉,可参看:<数据结构>图的最短路径问题
伪代码
建议与Dijstra算法的伪代码进行比较阅读
Prim(G, d[]){
初始化;
for(循环n次){
u = 使d[u]最小的还未被访问的顶点的标号;
记u已被访问;
for(从u出发能到达的所有顶点v){
if(v未被访问&&以u为中介点使得v与**集合s**的最短距离d[v]更优){ //唯一与Dijstra算法不同之处
将G[u][v]赋值给v与集合s的最短距离d[v];//将G[u][v]赋给d[v] 而不再是 d[u] + G[u][v]
}
}
}
}
代码实现
增加int ans记录边权和。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXV 100
#define INF 100000000
int n, G[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵实现图G
int d[MAXV]; //顶点与集合s的最短距离
bool vis[MAXV] = {false};
int Prim(){
fill(d, d+MAXV*MAXV, INF);
d[0] = 0; //只有0号顶点与s距离为0,其余为INF
int ans = 0; //存放边权之和
for(int i = 0; i < n; i++){ //寻找 到集合s距离最短&&未被标记的顶点
int u = -1, MIN = INF;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
if(u == -1) return ; //图不全连通,无法构建最小生成树
vis[u] = true;
ans += d[u]; //边权增加
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问 && u能到达v && 以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && G[u][v] < d[v]){
d[v] = G[u][v];
}
}
}
return ans; //返回最小边权之和
}
复杂度分析:O(VlogV + E)
同Dijstra算法。
kruskal算法:边贪心
基本思想: 充分利用MST性质
遵循下述三个步骤:
- 对所有边按边权从小到大排序
- 按边权测试所有边,如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块,则把这条测试边加入最小生成树中;否则将边舍弃。
- 执行步骤2,直到树中的边数 == 顶点数-1。
伪代码
int kruskal(){
令最小生成树的边权之和为ans,最小生成树的当前边数为Num_Edge;
将所有边按边权从小到大排序;
for(从小到大枚举所有边){
if(当前测试边的两个端点在不同的连通块中){
将该测试边加入最小生成树;
ans += 测试边边权;
最小生成树的当前边数Num_Edge++;
当边数Num_Edge == 顶点数-1 时结束循环;
}
}
return ans;
}
关键要解决两个问题
- 将所有边按边权从小到大排序————>sort函数(自行定义cmp)
- 当前测试边的两个端点在不同的连通块中————>并查集(顺带可以完成“将该测试边加入最小生成树;”)
代码实现
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXV = 110;
const int MAXE = 10010;
//定义边集合
struct edge{
int u, v;
int cost;
}E[MAXE];
bool cmp(edge a, edge b){ //按边权从小到大
return a.cost < b.cost;
}
//并查集部分
int father[MAXV];
int findFather(int x){
int a = x;
while(x != father[x])
x = father[x];
//路径压缩:让x的子结点直接指向x,减少中间路径
while(a != father[a]){
int z = a;
a = father[a];
father[a] = x;
}
return x;
}
//kruskal部分,返回最小生成树的边权之和,参数n为顶点个数,m为图的边数
int kruskal(int n, int m){
//ans为所求边权之和,Num_Edge为当前生成树的边数
int ans = 0, Num_Edge = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){ //顶点范围是0-(n-1)
father[i] = i; //并查集初始化
}
sort(E, E+m, cmp); //所有边按边权从小到达排序
for(int i = 0; i < m; i++){ //枚举所有边
int faU = findFather(E[i].u); //查询两个端点所在的集合的根节点
int faV = findFather(E[i].v);
if(faU != faV){ //如果不在一个集合中
father[faU] = faV;//合并集合(即吧测试边加入最小生成树中)
ans += E[i].cost;//边权和增加
Num_Edge ++;//当前生成树的边数+1
if(Num_Edge == n-1) break; //边数 == n-1时结束算法
}
}
if(Num_Edge != n-1) return -1; //不连通时返回-1
else return ans;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m); //顶点数、边数
for(int i = 0; i < m; i++){
scanf("%d%d%d", &E[i].u,&E[i].v,&E[i].cost); //两端点编号, 边权
}
int ans = kruskal(n,m); //算法入口
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
复杂度分析:O(ElogE)
- 主要来源:sort()函数[O(ElogE)];本质是快速排序
- 次要来源:一重for循环[O(E)]
算法选择
一般情况下
- Prim: 稠密图
- kruskal: 稀疏图