RE0：从零开始的高数生活

分部积分法#

若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $\int u(x)v'(x)dx$ 存在，可得以下公式：

$$\int u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)dx$$

证：

由 $[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ 得 $u'(x)v(x)=[u(x)v(x)]'-u(x)v'(x)$

同取不定积分得 $\int u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)dx$

简写为 $\int udv=uv-\int u'vdx$

QED

 

例：

Wallis公式引理1证明

$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n dx$ ，则：

若 $n$ 为偶数 $I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}$

若 $n$ 为奇数 $I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}$

证：

易发现 $I_0=\frac{\pi}{2},I_1=1$ ，故只需证明 $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

$$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n dx=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}xd(\cos x)$$

$$I_n=-[\sin ^{n-1}x \cos x\mid^{\frac{\pi}{2}}_0 -\int_0^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \sin^{n-2}x \cos^2 x dx]=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin ^2 x) \sin ^{n-2}xdx$$

$$I_n=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-2}xdx - (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n}xdx$$

$$I_n=(n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$$

$$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

QED

 

Wallis公式#

在上文引理的基础上，我们可以得到Wallis公式，即 $\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{1}{2n+1}\big[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\big]^2\frac{2}{\pi} = \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1$

证：

由 $0 < \sin x < 1$ 有 $\sin ^{2n+2} x < \sin ^{2n+1} x < \sin ^{2n} x$

所以有 $I_{2n+2}=\frac{2n+1}{2n+2}I_{2n} < I_{2n+1} < I_{2n}$

由夹逼定理得成立

QED

Wallis公式通常也表示为 $\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \sim \sqrt{n\pi}$ 或 $\frac{(n!)^{2}2^{2n}}{(2n)!} \sim \sqrt{n\pi}$