一、问题描述
给定一个正整数n，请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。例如：
- 5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1
- 10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2
- 20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4
二、算法分析
此类问题很显然属于数学问题，一定要找到其中的本质规律才能得到正确的数学模型。
两个大数字相乘，都可以拆分成多个质数相乘，而质数相乘结果尾数为0的，只可能是2*5。如果想到了这一点，那么就可以进一步想到：两个数相乘尾数0的个数其实就是依赖于2和5因子的个数。又因为每两个连续数字就会有一个因子2，个数非常充足，所以此时只需要关心5因子的个数就行了。
对于一个正整数n来说，怎么计算n！中5因子的个数呢？我们可以把5的倍数都挑出来，即：
令n! = (5K) * (5(K-1)) * (5(K-2)) * ... * 5 * A，其中A就是不含5因子的数相乘结果，n = 5K + r（0<= r <= 4）。假设f(n!)是计算阶乘n!尾数0的个数，而g(n!)是计算n!中5因子的个数，那么就会有如下公式：
f(n!) = g(n!) = g(5^K * K! * A) = K + g(K!) = K + f(K!)，其中K=n / 5（取整数）。
很显然，当0 <= n <= 4时，f(n!)=0。结合这两个公式，就搞定了这个问题了。举几个例子来说：
- f(5!) = 1 + f(1!) = 1
- f(10!) = 2 + f(2!) = 2
- f(20!) = 4 + f(4!) = 4
- f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
- f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
三、PHP代码实现
<?php
function factorial($n){
if($n<=0) return 0;
$res = 0;
while($n){
$res += intdiv($n, 5);
$n = intdiv($n, 5);
}
return $res;
}
参考网站：
