整数划分问题

整数划分问题

将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n₁+n₂+n₃+...+n_k,其中n₁ >=n₂ >= n₃  >= ... >= n_k >= 1,k >= 1。

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分数称为正整数n的划分数。

递归法求解：

分析：正整数n，划分的最大加数为m，划分个数记为q(n,m)

①当n < 1 或  m < 1,划分数为0；

②当最大加数m = 1，只有一种情况, q(n,m) = 1；

③当最大加数m >= n,实际上最大加数m不大于n，q(n,m) = q(n,n) ；

④q(n,n) = q(n,n - 1) + 1；

⑤当n > m > 1时，q(n,m) = q(n,m - 1) + q(n - m,m)

可分为两种情况：（1）划分中包含m的情况，也就是1到n中大于或等于m的数即 n - m，q(n - m,m)（2）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，也就是n的 m - 1 划分：q(n,m - 1)

    public static int divide(int n,int m){
        if((n < 1) || (m < 1))
            return 0;
        if((n == 1) || (m == 1))
            return 1;
        if(n < m)
            return divide(n,n);
        if(n == m)
            return divide(n,m -1) + 1;
        return divide(n,m - 1) + divide(n - m,m);
    }

 

 

动态规划法求解：

利用矩阵数组记录数据，数组的最后一个数即为所求。

    public static int divideDp(int n, int m){
        if (n < 1 || m < 1)
            return 0;
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        dp[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = 1;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++){
            dp[0][j] = 0;
            dp[1][j] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            for (int j = 1; j <= m; j++){
                if (i < j)
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                else if (i == j)
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
            }
        }
        return dp[n][m];
    }