《算法导论》[第2章] 算法入门-[2.3] 算法设计
|概念回顾|
分治策略：将原问题划分成ｎ个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些小问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
分治模式在每一层递归上都有三个步骤：
- 分解(Divde)：将原问题分解成一系列子问题；
- 解决(Conquer)：递归地解答各子问题。若子问题足够小，则直接求解；
- 合并(Combine)：将子问题的结果合并成原问题的解。
注：⌈x⌉ 表示大于或等于x的最小整数；⌊x⌋表示小于或等于x的最大整数。
|习题解答|
2.3-1 以图2-4为模型，说明合并排序在输入数组A={3,41,52,26,38,57,9,49}上的执行过程。
| 3 | 9 | 26 | 38 | 41 | 49 | 52 | 57 | |||||||
| 3 | 26 | 41 | 52 | & | 9 | 38 | 49 | 57 | ||||||
| 3 | 41 | & | 26 | 52 | 38 | 57 | & | 9 | 49 | |||||
| 3 | & | 41 | 52 | & | 26 | 38 | & | 57 | 9 | & | 49 |
注：&为合并符号。
2.3-2 改写MERGE过程，使之不使用哨兵元素，而是在一旦数组元素L或R中的所有元素都被复制回数组A后，就立即停止，再将令一个数组中余下的元素复制回数组A中。
1、注释掉第8,9句。
2、在12和13句之间添加如下伪代码:
do if i>n1
then while j<=n2
do A[k++]←R[j++]
break do if j>n2
then while i<=n1
do A[k++]←L[i++]
break
2.2-3 利用数学归纳法证明：当n是2的整数次幂时，递归式
证明：
1、当n=2时，T(n)=2lg(2)=2成立。
2、假设当n=2^k(k>1)时，等式成立，即T(2^k)=(2^k)lg(2^k)=k(2^k)；又因为已知：n=2^k(k>1)时，有T(2^k)=2T((2^k)/2)+2^k，所以：
T(2^(k+1))= 2T((2^(k+1))/2)+2^(k+1)= 2T(2^k)+2^(k+1)= 2(k*(2^k))+2^(k+1)= (k+1)*2^(k+1)
3、所以，当n=2^(k+1) (k>1)时，等式也成立。即递归式的解确实为T(n)=nlg(n)。
2.3-4 插入排序可以如下改写成一个递归过程：为排序A[1..n]，先递归地排序A[1..n-1]，然后再接着将A[n]插入到已排序的数组A[1..n-1]中去。对于插入排序的这一递归版本，为它的运行时间写一个递归式。
2.3-5 回顾一下练习2.1-3中提出的查找问题，注意如果序列A是已排序的，就可以将该序列的中点与v进行比较。根据比较的结果，原序列中有一半就可以不用再做进一步的考虑了。二分查找(binary search)就是一个不断重复这一查找过程的算法，它每次都将序列余下部分分成两半，并只对其中的一半做进一步的查找。写出二分查找算法的伪代码，可以是迭代的，也可以是递归的。说明二分查找算法的最坏情况运行时间为什么是Θ(lgn)。
二分查找的伪代码如下(递归版本)：
BINARY-SEARCH(A,low,high,value)
if high<low
then return –1
mid←⌊low+(high-low)/2⌋
if A[mid]>value
then return BINARY-SEARCH(A,low,mid-1,value)
else if A[mid]<value
then return BINARY-SEARCH(A,mid+1,high,value)
else return mid
二分查找最坏的情况是直到最后次二分也未找到相应的值，假设总量n等于2的k次方，即n=2^k，每二分一次k减1，当k=0时，之前一次为最后一次二分，即共执行了k次。而k=lg(n)，所以，最坏情况的运行时间为Θ(lgn)。
2.3-6 观察一下2.1节中给出的INSERTION-SORT过程，在第5~7行的while循环中，采用了一种线性查找策略，在已排序的子数组A[1..j-1]中(反向)扫描。是否可以改用二分查找策略(见练习2.3-5)，来将插入排序的总体最坏情况运行时间改善至Θ(nlgn)?
答：不可以，运行时间仍为Θ(n²)，因为虽然查找过程运行时间从原来的Θ(n)[顺序查找]减少到了Θ(lgn)[二分查找]，但找到恰当的位置之后，其后面的一系列数组元素就都要向后移动一位，平均运行时间也达到了Θ(n)，所以在这里完成插入过程也需要花费Θ(n)，那么，当排序完n个数时，同样，我们看到也需要花费Θ(n²)。
具体查看如下代码(C语言实现)：
int BinarySort(int A[],int low,int high,int value)
{
if(high<low)
return -1;
int mid=low+(high-low)/2;
if(A[mid]>value) {
if(value>A[mid-1])
return mid;
else
return BinarySort(A,low,mid-1,value);
}
else if(A[mid]<value) {
if(value<=A[mid+1])
return mid+1;
else
return BinarySort(A,mid+1,high,value);
}
else return mid;
}void InsertionBinarySort(int A[],int n)
{
int i,j,key,label;
for(j=2;j<=n;++j) {
key=A[j];
label=BinarySort(A,1,j-1,key);
for(i=j-1;i>=label;--i)
A[i+1]=A[i];
A[label]=key;
}
}
*2.3-7 请给出一个运行时间为Θ(nlgn)的算法，使之能在给定一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。
我的方案如下：先用快速排序QUICKSORT对合集S进行从小到大排序，然后for循环遍历S，在每一次循环中先使y=x-S[i]，并将S[i]暂时赋值为y+1，防止寻找到同一个数，再用二分算法从S中查找y，若找到，则说明有在S中存在两个其和等于x的元素(一个是y,一个是刚刚的S[i])，输出Yes并结束for循环；反之，则先复原S[i]的值，避免影响到下一趟二分查找，直到遍历完所有元素，若仍未找到相应的y，则输出No。
运行时间分析：第一部分，快速排序期望的运行时间为Θ(nlgn)；第二部分，二分查找运行时间为Θ(lgn)(具体可参考练习2.3-5)，加上一个用来遍历S的for循环之后(运行时间为Θ(n))，总共运行时间也为Θ(nlgn)。综上，最后整个算法的运行时间即为Θ(nlgn)，基本满足题意要求。
具体参考如下代码(C语言实现)：
/*
* ===============================================
*
* Filename: SearchSum.cpp
*
* Description: Θ(nlgn)
*
* Version: 1.0
* Created: 03/14/2010 10:56:55 PM
* Revision: none
* Compiler: gcc
*
* Author: timebug
* Company:
*
* ===============================================
*/
#include <stdio.h>
int Partition(int S[],int p,int r)
{
int x=S[r];
int i=p-1,j,temp;
for(j=p;j<=r-1;++j){
if(S[j]<=x){
i++;
temp=S[j];
S[j]=S[i];
S[i]=temp;
}
}
temp=S[r];
S[r]=S[i+1];
S[i+1]=temp;
return i+1;
}
void QuickSort(int S[],int p,int r)
{
if(p<r){
int q=Partition(S,p,r);
QuickSort(S,p,q-1);
QuickSort(S,q+1,r);
}
}
int BinarySearch(int S[],int low,int high,int value)
{
if(low>high)
return -1;
int mid=low+(high-low)/2;
if(S[mid]>value)
return BinarySearch(S,low,mid-1,value);
else if(S[mid]<value)
return BinarySearch(S,mid+1,high,value);
else return mid;
}
void SearchSum(int S[],int n,int x)
{
int i,temp,flag;
for(i=1;i<=n;++i){
int y=x-S[i];
flag=1;
temp=S[i];
S[i]=y+1;
if(BinarySearch(S,1,n,y)!=-1){
printf("Yes\n");
flag=0;
break;
}
S[i]=temp;
}
if(flag) printf("No\n");
}
int main()
{
int n=10,x;
while(scanf("%d",&x)!=EOF){
int S[]={0,33,7,6,7,3,5,42,1,11,10};
QuickSort(S,1,n);
printf("\n");
SearchSum(S,n,x);
}
return 0;
}
