《算法导论》[第2章] 算法入门-[2.1] 插入排序

|概念回顾|

循环不变式的三个性质：

1. 初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的。
2. 保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确。
3. 终止：当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。

伪代码中的约定：

1. 书写上的“缩进”表示程序中的分程序（程序块）结构。
2. while,for,repeat等循环结构和if,then,else条件结构与Pascal中相同。
3. 符号 "▷” 表示后面部分是个注释。
4. 多重赋值 i←j←e 是将表达式e的值赋给变量i和j；等价于 j←e，再进行赋值 i←j。
5. 变量（如i,j和key等）是局部给定过程的。
6. 数组元素是通过“数组名[下标]”这样的形式来访问的。
7. 复合数据一般组织成对象，它们是由属性(attribute)和域(field)所组成的。
8. 参数采用按值传递方式：被调用的过程会收到参数的一份副本。
9. 布尔运算符"and”和"or”都是具有短路能力。

|习题解答|

2.1-1 以图2-2为模型，说明INSERTION-SORT在数组A=<31,41,59,26,41,58>上的执行过程。

31

41

59

26

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58

31

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59

注：红色表示要准备插入的数，蓝色表示与红色数字比较过的数。

 

2.1-2 重写过程INSERTION-SORT，使之按非升序（而不是按非降序）排序。

伪代码如下：

INSERTION-SORT(A)
     for j←to length[A]
         do key←A[J]
         i←j-1
         while i>0 and A[i]<key
             do A[i+1]←A[i]
             i←i-1
         A[i+1]←key

2.1-3 考虑下面的查找问题：

输入：一列数A=<a1,a2,…,an>和一个值V。

输出：下标i，使得V=A[i]，或者当V不再A中出现时为NIL。

写出针对这个问题的线性查找的伪代码，它顺序地扫描整个序列以查找V。利用循环不变式证明算法的正确性。确保所给出的循环不变式满足三个必要的性质。

伪代码如下：

LINEAR-SEARCH(A,V)
     flag←0
     for i←1 to length[A]
         do if A[i]==V
            then print i
             flag←1
     if flag==0
        then print NIL

循环不变式的证明如下：

初始化：首先，先来证明在第一轮迭代之前，它是成立的。此时，flag初始化为0，表示未找到这样一个小标i，使得A[i]=V.若为1，则表示已找到一个或多个这样的下标。那么，很显然，在还未开始之前flag=0是正确的，也就证明了循环不变式在循环的第一轮迭代开始之前是成立的。

保持：接下来证明每一轮循环都能使循环不变式保持成立。我们看到，在第一个for循环体内，随着i逐个从1到遍历完整个数列的过程中，只要有一个下标i，使得A[i]等于V，那么在输出i的同时，将flag重新标记为1，表示已找到。无论接下来是否还有这样满足条件的i出现，flag的值不变，仍为1，反之，若遍历完之后，没有找到这样的一个i，那么flag在这个for循环中未做任何改变，仍为0。所以，循环不变式的第二个性质也成立。

终止：对此线性查找算法来说，当i大于length[A]的值（即遍历完整个A数列后），for循环结束。这时，如果flag未改变（即flag=0），则说明未能找到这样的下标i，输出NIL；反之，若已在for循环中被修改为1，则不会运行此步语句，这也就意味着该算法是正确的。

 

2.1-4 有两个各存放在数组A和B中的n位二进制整数，考虑它们的相加问题。两个整数的和以二进制形式存放在具有(n+1)个元素的数组C中。请给出这个问题的形式化描述，并写出伪代码。

形式化描述如下：

首先，初始化数组C，使其n+1各元素的值都为0。接着，利用for循环用i同时从n到1反向遍历A、B数组，每遍历一步，作一个判断：若A[i]+B[i]>1，则C[i]=C[i]+1；反之，C[i+1]=A[i]+B[i]。最后，当i=0时，for循环结束，此时C数组中存储的即是所求的结果。

伪代码如下：

BINRARY-SUM(A,B,C)
     for i←1 to n+1
         do C[i]←0
     for i←n to 1
         do if A[i]+B[i]>1
               then C[i]=C[i]+1
               else C[i+1]=A[i]+B[i]