LeetCode 面试经典150题---003

#### 55. 跳跃游戏

给你一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的第一个下标。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个下标，如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。
1 <= nums.length <= 104
0 <= nums[i] <= 105
本题题意比较明确，我们可以将题目转化为找到多条相交的线段，最终就一定能够到达终点，如图所示。

上方的线表示每个元素最远能到达的位置，红线是相交的线段。下方的线是实际的路径，可以看出对于相交的线段，我们始终可以达到相交部分的点，再从相交部分的点到达更远的点，因为有相交说明上一点到相交点和相交点到更远点都能到达。
那代码怎么写。我们定义j为此时的最远距离，每次都会维护j这个最远距离，同时每次循环每个元素i，试想对于当前最远距离j，j前面的每个位置i的i+nums[i]都小于j，那就说明最远只能到达j，跳不出j，因此更远的地方永远无法到达。如果j之前的位置i存在i+nums[i]大于j，说明可以从i跳到更远的大于j的位置，那么这样就组成了两条相交的线段啦。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        for(int i = 0, j = 0;i < nums.size();i ++ ){
            if(i > j) return false;
            j = max(j, i + nums[i]);
        }
        return true;
    }
};

#### 45. 跳跃游戏 II
给定一个长度为 n 的 0 索引整数数组 nums。初始位置为 nums[0]。每个元素 nums[i] 表示从索引 i 向前跳转的最大长度。换句话说，如果你在 nums[i] 处，你可以跳转到任意 nums[i + j] 处。返回到达 nums[n - 1] 的最小跳跃次数。生成的测试用例可以到达 nums[n - 1]。
1 <= nums.length <= 104
0 <= nums[i] <= 1000
这题和上一题一样，不过这题要求跳跃的最小次数。我们考虑用动态规划，~~至于为什么用动态规划，因为它长得就像动态规划~~。我们定义f[i]为到达i的最小步数，那么如何维护f[i]呢，可以直接遍历从0-i-1的所有元素j，更新f[i]=min(f[i],f[j]+1)，因为要到达i肯定是从i前面的某个位置跳跃而来。但是这样的话复杂度是 $O(n^{2})$ ，现在来考虑怎么优化。
分析可得，f[i]其实是个非递减数组，原因如下（1）对于f[i]和f[i+1]，最好的情况是二者相等，即上一个点既可以跳到i也可以跳到i+1；（2）如果上一个点只能跳到i，那么f[i+1]就要比f[1]大1，要多跳一次。因此f[i]是一个非递减数组。回到刚刚的暴力做法，我们遍历i前面的所有j，其实我们只需要找到第一个能到达i的位置j，因为如果再往后的话，找到的f[j]都是大于等于第一个f[j]的，因此对答案没有影响，那为什么还要继续遍历呢，所以找到第一个就可以了。

class Solution {
public:
    int jump(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n);
        for(int i = 1,j = 0;i < n;i ++ ){
            while(j + nums[j] < i) j ++;
            f[i] = f[j] + 1;
        }
        return f[n - 1];
    }
};