坐标变换，空间变换的本质

坐标变换或空间变换，本质是相对坐标的变化，绝对坐标没变。

世界空间有两个物体A,B。将A变换到B的坐标空间意思是：将A从世界空间变换到B的局部坐标空间，也就是在B的局部坐标系中重新表示A的坐标（也就是求出A在B坐标系中的相对坐标）

做法很简单：

1，A - B 得到一个向量 V，

2，把V分解（投影）到B的局部坐标的各轴上，一般用单位向量的点乘实现，因为点乘表示投影，即  x = dot(V, X), y=dot(V, Y), z=dot(V, Z)，X,Y,Z是B坐标系的三个轴

得到的结果就是A在B的局部坐标系中的坐标，物体A也就变换到了物体B的局部坐标系中，简称为A变换到了B的空间中。

在游戏引擎开发中最常用的几种变换：

例1，渲染管线中为了渲染物体，将物体变换到相机空间

例2，渲染阴影贴图shadow map时，将相机变换到灯光空间

 

原理如此，由上可以推导出一个变换矩阵，直接将1，2两上步骤合为一个矩阵，推导如下：

1,  A - B 得到向量V用矩阵表示就是 A乘以一个平移矩阵m，其中m[3][0]=B.x, m[3][1]=B.y, m[3][2B.z，如下

A - B = A * m，其中m为：

 m = 1　　 0　　0　　0

　　 0　　 1　　0　　0

　　 0　　 0　　1　　0

　　 B.x    B.y    B.z　 1

2，将向量 V 分解（投影）到 B的局部坐标系的各轴上(X, Y, Z三个轴坐标基分别right, up, look向量）

x =  dot(V, right)

y =  dot(V, up)

z = dot(V, look)

那么表示成向量与矩阵的乘法就是如下：

 V *  right.x　　up.x　　look.x　　0     = V * m1

　　right.y　　up.y　　look.y　　0

　　right.z　　up.z　　look.z　　0

　　0　　　　0　　　　0　　　　1

 

将1，2两步合起来:

A * m * m1 =  

A* 　   　1　　 0　　0　　0　　*　  right.x　　up.x　　look.x　　0    = A *   right.x　　　　up.x　　　　look.x　　　　0 　　= A * view

　　　　 0　　 1　　0　　0　　　　right.y　　up.y　　look.y　　0　　　　 right.y　　　　up.y　　　　look.y　　　　0

　　　　0　　 0　　1　　0　　　　 right.z　　up.z　　look.z　　0　　　　 right.z　　　　up.z　　　　look.z　　　　0

　　　　B.x    B.y    B.z　 1　　　　 0　　　　0　　　　0　　　　1　　　　dot(B, right) 　dot(B, up) 　dot(B, look)　　1

 

其中view也就是常说的视图矩阵，由此可以看出：

1，视图矩阵不是相机变换的专利，而是所有物体都具有的一种旋转加平移的变换。

这也就是U3D中 Transform.lookAt的原理，就是说每个物体都有一个视图变换矩阵，包括相机，灯光。这样我们就明白了什么是【变换到灯光空间】这个难以理解的概念

2，将物体由世界坐标系W变换到某坐标C = 物体跟随C先移到W的原点，再旋转与W各轴对齐