HDU1576 A/B【扩展欧几里得算法】

问题链接：HDU1576 A/B

问题简述：参见上述链接。

问题分析：这个问题可以用解整数的不定方程来解决，即使用扩展欧几里德算法。

根据题意，输入的n=A%9973（没有输入A）,A%B=0（A必能被B整除），B与9973互素（GCD(B,9973)=1）。

解题过程首先是建立方程，然后才能编写程序。

设x=(A/B)%9973（x是最终想计算的值），则9973k+x=A/B（k为整数），得A=9973Bk+xB。

因为n=A%9973与A=9973Bk+xB，所以xB%9973=n，得xB=n+9973y。

故：(x/n)B+(-y/n)9973=1=GCD(B,9973)，该方程有解。

要求x和y，先求X=x/n和Y=-y/n,即先解方程BX+9973Y=1。

最后,x=X*n。

需要注意的是，求得的x有可能是负值，需要进行调整。

不过，这个计算方法好像比较花时间。

程序说明：（略）。

AC的C语言程序如下：

#include <stdio.h>

// 递推法实现扩展欧几里德算法
long exgcd(long a, long b, long *x, long *y)
{
    long x0=1, y0=0, x1=0, y1=1;
    long r, q;
    *x=0;
    *y=1;

    r = a % b;
    q = (a - r) / b;
    while(r)
    {
        *x = x0 - q * x1;
        *y = y0 - q * y1;
        x0 = x1;
        y0 = y1;
        x1 = *x;
        y1 = *y;

        a = b;
        b = r;
        r = a % b;
        q = (a - r) / b;
    }
    return b;
}

int main(void)
{
    int t, i;
    long n, b, a=9973, x, y;

    scanf("%d", &t);
    for(i=0; i<t; i++) {
        scanf("%ld%ld", &n, &b);
        exgcd(b, a, &x, &y);
        x = (x + a) % a;        // x有可能为负，需要调整
        printf("%ld\n", x*n%a);
    }

    return 0;
}