I00022 孙子定理

问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。

这个问题用现在的话说就是，有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2，问该数是多少？

该问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题。是一个数学问题，更准确地说是一个数论问题，也是一个经典的数论问题。

孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论四大定理之一，国际上称为中国剩余定理。该题是孙子定理中的典型问题。

现在是计算机时代，绝大多数问题都用计算来解决，即编写程序计算解决。用数论算法来解，应该说是正解。参见：《模乘逆元与孙子定理》一文。

如果只学过计算机语言而不懂数论，是不是就没有办法来解这个问题了？答案显然是否定的。解决这个问题，穷举法的应该是一个办法，总是能够算出结果来的。

然而，计算过程不同，速度有快慢之别。这里给出的程序，从模（除数）最大开始穷举试探，步伐大必然步数少。根据本题题意，7为最大除数，所以优先使用除数为7的条件；除7余2，其解必然是2+7k（k=0,1,2,,3,......）的形式，k从0开始逐一增大穷举试算，把满足条件的解找出来。

用孙子定理或者说用数论的方法解决问题，对于模（除数）是有要求的。要求模（除数）必须是两辆互素的。而这个程序对此没有要求。

对于标准的孙子定理问题，算出的解是23。其实，该问题的通解是23+105k（k=0,1,2,,3,......），105=3*5*7。

还需要主意的一点是，编写程序需要有通用性，才能做到一劳永逸。

程序如下：

/* 孙子定理（中国剩余定理）：穷举法 */

#include <stdio.h>

int crt(int m[], int r[], int n)
{
    int x, flag, i, temp;

    // step1 找出最大的模（除数），放在m[0]，相应的余数也放在r[0]
    for(i=1; i<n; i++) {
        if(m[i] > m[0]) {
            temp = m[i];
            m[i] = m[0];
            m[0] = temp;

            temp = r[i];
            r[i] = r[0];
            r[0] = temp;
        }
    }

    // step2 试探法求满足各个模（除数）条件的数
    x = r[0];
    flag = 0;
    while(!flag) {
        flag = 1;
        for(i=1; i<n; i++)
            if(x % m[i] != r[i]) {
                flag = 0;
                break;
            }
        if(flag)
            break;
        x += m[0];
    }

    return x;
}

int main(void)
{
    int m[] = {3, 5, 7};
    int r[] = {2, 3, 2};
    printf("%d\n", crt(m, r, sizeof(m)/sizeof(int)));

    int m2[] = {103, 107, 109};
    int r2[] = {44, 63, 21};
    printf("%d\n", crt(m2, r2, sizeof(m2)/sizeof(int)));

    int m3[] = {30, 51, 34, 103};
    int r3[] = {29, 2, 19, 30};
    printf("%d\n", crt(m3, r3, sizeof(m3)/sizeof(int)));

    return 0;
}

3组数据的计算结果如下：

23
2310
2399