[阅读量最高置顶]CSP202109-4 收集卡牌 题解
好题，虽然看着像期望DP，但是装压好写。
〇、题目
题目描述
小林在玩一个抽卡游戏，其中有 \(n\) 种不同的卡牌，编号为 \(1\) 到 \(n\)。每一次抽卡，她获得第 \(i\) 种卡牌的概率为 \(p_i\)。如果这张卡牌之前已经获得过了，就会转化为一枚硬币。可以用 \(k\) 枚硬币交换一张没有获得过的卡。
小林会一直抽卡，直至集齐了所有种类的卡牌为止，求她的期望抽卡次数。如果你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 \(10^{-4}\)，则视为正确。
提示：聪明的小林会把硬币攒在手里，等到通过兑换就可以获得剩余所有卡牌时，一次性兑换并停止抽卡。
输入格式
从标准输入读入数据。
输入共两行。第一行包含两个用空格分隔的正整数 \(n,k\)，第二行给出 \(p_1,p_2,...,p_n\)，用空格分隔。
输出格式
输出到标准输出。
输出共一行，一个实数，即期望抽卡次数。
样例1输入
2 2
0.4 0.6
样例1输出
2.52
样例1解释
共有 \(2\) 种卡牌，不妨记为 A 和 B，获得概率分别为 \(0.4\) 和 \(0.6\)，\(2\) 枚硬币可以换一张卡牌。下面给出各种可能出现的情况：
- 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 \(0.4\times0.6=0.24\)，抽卡次数为 \(2\)。
- 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 \(0.4\times0.4\times0.6=0.096\)，抽卡次数为 \(3\)。
- 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 A，用硬币兑换 B，抽卡结束，概率为 \(0.4\times0.4\times0.4=0.064\)，抽卡次数为 \(3\)。
- 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 \(0.6\times0.4=0.24\)，抽卡次数为 \(2\)。
- 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 \(0.6\times0.6\times0.4\)，抽卡次数为 \(3\)。
- 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 B，用硬币兑换 A，抽卡结束，概率为 \(0.6\times0.6\times0.6=0.216\)，抽卡次数为 \(3\)。
因此答案是 \(0.24\times2+0.096\times3+0.064\times3+0.24\times2+0.144\times3＋0.216\times3=2.52\)。
样例2输入
4 3
0.006 0.1 0.2 0.694
样例2输出
7.3229920752
子任务
对于 \(20\%\) 的数据，保证 \(1\leq n,k\leq 5\)。
对于另外 \(20\%\) 的数据，保证所有 \(p_i\) 是相等的。
对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1\leq n\leq16,1\leq k\leq5\)，所有的 \(p_i\) 满足 \(p_i\geq \frac{1}{1000}\) ，且 \(\sum\limits_{i=1}^np_i=1\)。
一、思路
既然是选或者不选，那就推荐装压DP。
首先定义状态：\(f_{i,j}\)表示状态为\(i\)(二进制，表示抽到或者没有抽到)，已经抽了\(j\)次的概率。
边界条件肯定是\(f_{0,0}=1\)，没有抽的概率显然是\(100\%\)。
之后是状态转移方程。想要算f，就肯定需要循环枚举，我们跟着代码一起对照。
for(int i=0;i<=(1<<n);i++){//枚举状态
for(int j=0;j<=100;j++){//枚举j，一定要设的大一点
//如果已经有了x张卡牌，而且抽到的j张减去x张，也就是重复的张数再除以k（就是可以得到多少其他卡牌），再加上x是n，说明可以一次兑换，就抽了j次，概率dp[i][j]。
if(cnt[i]+(j-cnt[i])/k==n){
ans+=j*dp[i][j];//期望
continue;//既然抽完了，就不需要再计算了
}
for(int k=1;k<=n;k++){//枚举抽到了哪一张卡牌
if(i&(1<<(k-1))) dp[i][j+1]+=dp[i][j]*p[k];//出现过，状态不改变
else dp[i+(1<<(k-1))][j+1]+=dp[i][j]*p[k];//状态改变
}
}
}
不过，我们要算的x不可能现场算，就必须预处理，叫做cnt。
预处理方式：
for(int i=1;i<=(1<<n);i++){//检查每一个状态
x=i;//会变化
while(x) x&=x-1,cnt[i]++;//二进制里一的个数就是答案
}
二、代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=(1<<17)+17;//防越界
double dp[maxn][100];
double p[100];
int cnt[maxn];
int main(){
double ans=0;
int n,k,x;
cin>>n>>k;//输入
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
for(int i=1;i<=(1<<n);i++){//预处理
x=i;
while(x) x&=x-1,cnt[i]++;
}
dp[0][0]=1;
for(int i=0;i<=(1<<n);i++){//计算
for(int j=0;j<=100;j++){
if(cnt[i]+(j-cnt[i])/k==n){
ans+=j*dp[i][j];
continue;
}
for(int k=1;k<=n;k++){
if(i&(1<<(k-1))) dp[i][j+1]+=dp[i][j]*p[k];
else dp[i+(1<<(k-1))][j+1]+=dp[i][j]*p[k];
}
}
}
printf("%.5lf",ans);//注意输出时要保留5位（好像6位更保险，5位过不了官方数据）
return 0;
}
那么今天就讲到这里了，我们下期再见~
