动手学深度学习－第３章线性神经网络

## 3.1线性回归
回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
线性回归基于几个简单的假设：
１.自变量和因变量之间的关系是线性的
２.任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布
仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

3.1.1基本元素

1.线性模型

$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{x}+b$

2.损失函数

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为${\hat{y}}^{(i)}$,
，其相应的真实标签为$y^{(i)}$时， 平方误差可以定义为以下公式
$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})}^2.$

需计算在训练集个样本上的损失均值（也等价于求和）
$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)})}^2.$

3.解析解

线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）
${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{y}.$

4. 随机梯度下降

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
更新过程：
$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b).$
算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}),\\ b& \leftarrow b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}({\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}).\end{array}\end{array}$

5. 用模型进行预测

给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

3.１.2矢量化加速

通过矩阵运算节省时间

3.1.3. 正态分布与平方损失

正态分布概率密度函数如下：
$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2).$
写出通过给定的观测到特定的似然（likelihood）:
$P(y\mid \mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{x}-b{)}^2).$
根据极大似然估计法，参数w和b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|{\mathbf{x}}^{(i)}).$
通过最大化似然对数来简化。 优化通常是说最小化而不是最大化。 可以改为最小化负对数似然$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})$。 由此可以得到的数学公式是：
$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)+\frac{1}{2{\sigma }^2}{(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{x}}^{(i)}-b)}^2.$

在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

3. 1.4. 从线性回归到深度网络

可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）

3.2线性回归的实现

在启智AI开台上，编程实现。
执行以下循环：
初始化参数
重复以下训练，直到完成
计算梯度 $\mathbf{g}\leftarrow {\partial }_{(\mathbf{w},b)}\frac{1}{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}l({\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)},\mathbf{w},b)$
更新参数 $(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\eta \mathbf{g}$
在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。
在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。
是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解

3.3 线性回归的简洁实现

通过深度学习框架的高级API来实现我们的模型只需要相对较少的代码。 我们不必单独分配参数、不必定义我们的损失函数，也不必手动实现小批量随机梯度下降。

• 通过调用net(X)生成预测并计算损失l（前向传播）。

• 通过进行反向传播来计算梯度。

• 通过调用优化器来更新模型参数。

点击查看代码

import numpy as np
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

from torch import nn

true_w1=torch.tensor([2,8.])
true_b1=4.2
features,labels =d2l.synthetic_data(true_w1,true_b1,1000)

def load_array(data_arrays,batch_size,is_train=True):
    dataset=data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset,batch_size,shuffle=is_train)

batch_size =10
data_iter=load_array((features,labels),batch_size)

net = nn.Sequential(nn.Linear(2,1))

net[0].weight.data.normal_(0,0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

loss=nn.MSELoss()

trainer=torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.03)

num_epochs=3
for epoch in range(num_epochs):
    for X,y in data_iter:
        l=loss(net(X),y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l=loss(net(features),labels)
#     w = net[0].weight.data
#     print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
#     b = net[0].bias.data
#     print('b的估计误差：', true_b - b)
    print(f'epoch{epoch+1}, loss {l:f}')

3.4 softmax回归

使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。

3.4.1分类问题

分类问题不与类别之间的自然顺序有关，标签的表达采用独热编码。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他 所有分量设置为0。

3.4.2网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}\end{array}$

3.4.3. 全连接层的参数开销

对于任何具有个输入d和个输出q的全连接层， 参数开销为O(dq),
可以将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到O(dq/n)

3.4.4. softmax运算

优化参数以最大化观测数据的概率
softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。
$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{\sum _k\exp (o_k)}$
尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。 因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。

3.4.5. 小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。
由于中的每一行代表一个数据样本， 那么softmax运算可以按行（rowwise）执行： 对于的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。

3.4.6. 损失函数

使用最大似然估计
估计值与实际值进行比较：
$P(Y|X))=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).$

最大化P(Y|X)，相当于最小化负对数似然：
$-logP(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}),$

其中，对于任何标签y和模型预测$\hat{y}$，损失函数为：
$l(y,\hat{y})=-\sum _{(j=1)}^q{y}_{j}log{\hat{y}}_j.$

由于y是一个长度为的独热编码向量， 所以除了一个项以外的所有项j都消失了

$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{\sum _{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\end{array}\end{array}$
考虑相对于任何未规范化的预测的导数，我们得到：
${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{\sum _{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{softmax}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.$

3.4.7. 信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。
$H[P]=\sum _j-P(j)\log P(j).$

根据信息论的基本定理，对于一个从分布 $P$ 中独立抽取的符号序列，其平均编码长度 $L$ 不能小于熵 $H(P)$。如果采用一种比熵更紧凑的编码方法，那么编码后的序列长度将小于熵，而这意味着存在一些抽取的符号无法被完全识别和恢复。因此，为了保证数据能够被正确编码和解码，至少需要 $H(P)$ 个纳特的编码长度来保证信息无损地传输。

更具体地说，熵是衡量随机变量不确定性的度量，用来衡量在某一确定分布 $P$ 中选择一个符号时所包含的平均信息量。假设 $X$ 是从分布 $P$ 中选择的一个符号，则熵 $H(P)$ 定义为：

$$H(P)=-\sum _{x\in X}P(x){\log }_{2}P(x)$$

其中，$P(x)$ 表示该符号出现的概率，${\log }_{2}P(x)$ 表示以2为底，$P(x)$的对数。熵表示在给定分布 $P$ 的情况下，需要多少二进制数来表示每个符号，从而确保每个符号都能被正确编码和解码。

因此，至少需要 $H(P)$ 个纳特的编码长度来对从分布 $P$ 中随机抽取的数据进行编码。这是为了确保编码的可靠性，避免信息丢失或解码错误，并同时保持编码长度的最小化。

3.4.8. 模型预测和评估