动手学深度学习－第３章线性神经网络
## 3.1线性回归
回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
线性回归基于几个简单的假设：
１.自变量和因变量之间的关系是线性的
２.任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布
仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。
3.1.1基本元素
1.线性模型
\(\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b\)
2.损失函数
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\),
，其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时， 平方误差可以定义为以下公式
\(l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.\)
需计算在训练集个样本上的损失均值（也等价于求和）
\(L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.\)
3.解析解
线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）
\(\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.\)
4. 随机梯度下降
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
更新过程：
\((\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).\)
算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
\(\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\end{split}\)
5. 用模型进行预测
给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。
3.１.2矢量化加速
通过矩阵运算节省时间
3.1.3. 正态分布与平方损失
正态分布概率密度函数如下：
\(p(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2}(x- \mu)^2\right).\)
写出通过给定的观测到特定的似然（likelihood）:
\(P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).\)
根据极大似然估计法，参数w和b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
\(P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).\)
通过最大化似然对数来简化。 优化通常是说最小化而不是最大化。 可以改为最小化负对数似然\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。 由此可以得到的数学公式是：
\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.\)
在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
3. 1.4. 从线性回归到深度网络
可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）
3.2线性回归的实现
在启智AI开台上，编程实现。
执行以下循环：
初始化参数
重复以下训练，直到完成
计算梯度 \(\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)\)
更新参数 \((\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}\)
在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。
在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。
是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解
3.3 线性回归的简洁实现
通过深度学习框架的高级API来实现我们的模型只需要相对较少的代码。 我们不必单独分配参数、不必定义我们的损失函数，也不必手动实现小批量随机梯度下降。
-
通过调用net(X)生成预测并计算损失l（前向传播）。
-
通过进行反向传播来计算梯度。
-
通过调用优化器来更新模型参数。
点击查看代码
import numpy as np
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l
from torch import nn
true_w1=torch.tensor([2,8.])
true_b1=4.2
features,labels =d2l.synthetic_data(true_w1,true_b1,1000)
def load_array(data_arrays,batch_size,is_train=True):
dataset=data.TensorDataset(*data_arrays)
return data.DataLoader(dataset,batch_size,shuffle=is_train)
batch_size =10
data_iter=load_array((features,labels),batch_size)
net = nn.Sequential(nn.Linear(2,1))
net[0].weight.data.normal_(0,0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
loss=nn.MSELoss()
trainer=torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.03)
num_epochs=3
for epoch in range(num_epochs):
for X,y in data_iter:
l=loss(net(X),y)
trainer.zero_grad()
l.backward()
trainer.step()
l=loss(net(features),labels)
# w = net[0].weight.data
# print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
# b = net[0].bias.data
# print('b的估计误差：', true_b - b)
print(f'epoch{epoch+1}, loss {l:f}')
3.4 softmax回归
使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。
3.4.1分类问题
分类问题不与类别之间的自然顺序有关，标签的表达采用独热编码。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他 所有分量设置为0。
3.4.2网络架构
为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
\(\begin{split}\begin{aligned}
o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\
o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\
o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3.
\end{aligned}\end{split}\)
3.4.3. 全连接层的参数开销
对于任何具有个输入d和个输出q的全连接层， 参数开销为O(dq),
可以将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到O(dq/n)
3.4.4. softmax运算
优化参数以最大化观测数据的概率
softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。
\(\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\)
尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。 因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。
3.4.5. 小批量样本的矢量化
为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。
由于中的每一行代表一个数据样本， 那么softmax运算可以按行（rowwise）执行： 对于的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。
3.4.6. 损失函数
使用最大似然估计
估计值与实际值进行比较：
$ P(Y|X))= \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) . $
最大化P(Y|X)，相当于最小化负对数似然：
$ -logP(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})= \sum_{i=1}^n -\log P( \mathbf{y}^{(i)}\mid \mathbf{x}^{(i)} )
= \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)}), $
其中，对于任何标签y和模型预测\(\hat{y}\)，损失函数为：
\(l(y,\hat{y})=-\sum_{(j=1)}^q{y}_jlog\hat{y}_j.\)
由于y是一个长度为的独热编码向量， 所以除了一个项以外的所有项j都消失了
\(\begin{split}\begin{aligned}
l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) &= - \sum_{j=1}^q y_j \log \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} \\
&= \sum_{j=1}^q y_j \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j\\
&= \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j.
\end{aligned}\end{split}\)
考虑相对于任何未规范化的预测的导数，我们得到：
\(\partial_{o_j} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} - y_j = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})_j - y_j.\)
3.4.7. 信息论基础
信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。
$ H[P]=\sum_j -P(j)\log P(j).$
根据信息论的基本定理，对于一个从分布 \(P\) 中独立抽取的符号序列，其平均编码长度 \(L\) 不能小于熵 \(H(P)\)。如果采用一种比熵更紧凑的编码方法，那么编码后的序列长度将小于熵，而这意味着存在一些抽取的符号无法被完全识别和恢复。因此，为了保证数据能够被正确编码和解码，至少需要 \(H(P)\) 个纳特的编码长度来保证信息无损地传输。
更具体地说，熵是衡量随机变量不确定性的度量，用来衡量在某一确定分布 \(P\) 中选择一个符号时所包含的平均信息量。假设 \(X\) 是从分布 \(P\) 中选择的一个符号，则熵 \(H(P)\) 定义为：
其中，\(P(x)\) 表示该符号出现的概率，\(\log_2 P(x)\) 表示以2为底，\(P(x)\)的对数。熵表示在给定分布 \(P\) 的情况下，需要多少二进制数来表示每个符号，从而确保每个符号都能被正确编码和解码。
因此，至少需要 \(H(P)\) 个纳特的编码长度来对从分布 \(P\) 中随机抽取的数据进行编码。这是为了确保编码的可靠性，避免信息丢失或解码错误，并同时保持编码长度的最小化。
