莫比乌斯反演（一）从容斥到反演
公式
《组合数学》里是这样写的：[1]
\[X_n=\{ 1,2, \dots ,n \}
\]
\[F: \mathcal{P}(X_n) \rightarrow \Re
\]
\[G: \mathcal{P}(X_n) \rightarrow \Re
\]
白话：\(F\),\(G\) 都是一个函数，表示每个\(X_n\)的子集对应一个实数。$\mathcal{P}(X_n) $表示全体子集的集合。（数学表达抽象是为了针对普遍情况，可以带入具体的概念去理解）
其中
\[G(K)=\sum\limits_{L \subseteq K }^{} F(L) \ (K \subseteq X_n)
\]
特别地（通过莫比乌斯反演），我们有
\[F(K)=\sum\limits_{L \subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|}G(L) \ (K \subseteq X_n)
\]
举例
《组合数学》书本例子[1:1]:（原文真的很讲究）设\(A_1,A_2,\dots,A_n\) 有限集\(S\) 的子集，\(K\subseteq \{1,2,\dots,n\}\)。
定义\(F(K)\)表示计数\(S\)里有多少个元素，不属于所有\(K\)选中的子集，而且都属于没选中的子集。
于是\(G(K)=\sum\limits_{L \subseteq K }^{} F(L) \) 就表示计数所有不在\(K\)选中的子集中的的共有元素的个数。要想通这一点有点不直接，可以画个图：（小黑圈表示有这个元素，小蓝圈表示没有。）
也可以这样想，所有不在\(K\)选中的子集中的的共有元素，是每个\(F(L)\)都会计一次的。知道了这一结论，可以发现\(G(K)\) 还是蛮好算的，有
\[G(K) = \left| \bigcap\limits_{i \notin K }^{} A_i \right|
\]
根据反演公式，有
\[F(K)=\sum\limits_{L \subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|}G(L)
\]
可以把集合表达式带进去，得到
\[\left| \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \dots \cap \overline{A_n} \right| =\sum\limits_{L \subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|} \left| \bigcap\limits_{i \notin K }^{} A_i \right|
\]
在等价替换一下，当\(K= \{1,2,\dots,n\}\)时，
\[\left| \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \dots \cap \overline{A_n} \right| =\sum\limits_{J \subseteq X_n }^{} (-1)^{|J|} \left| \bigcap\limits_{i \in J }^{} A_i \right|
\]
这就等价容斥原理（绝了）。
理解可以这样： $\left| \overline{A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n} \right| $表示这些子集的并集，取反的元素还有多少个，这个问题容易想到是用容斥解，不过本文是为了引入莫比乌斯反演，表现一下容斥和莫比乌斯反演的关系。
我不想把篇幅弄得太长，太长不太便于阅读，下一篇将正式讲莫比乌斯反演的一些例子。
