BJOI2019 光线
这段时间一直在刷各省省选题,参考了许许多多的大神的题解,的确收获颇丰。这道题是为数不多的独立推导出正解的题目 窝太蒟了(;´д`)ゞ 算是涌泉之恩,滴水相报吧
前置芝士:等比数列的通项公式
对于首项为\(a_1\),公比为\(q\)的等比数列,前\(n\)项和\(S_n\)的通项公式如下:
\[ S_n=\left\{
\begin{aligned}
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (q\not= 1) \\
a_1\times n & (q=1)
\end{aligned}
\right.
\]
证明比较容易,简略思路为将\(q\times S_n -S_n\)的展开推导,这里就交给读者独立完成了
dp推导
令\(f[i]\)为从右向左抵达第\(i\)层玻璃后,能向右返回的百分比
一道绿光
进入第二层玻璃后,黑光会到处反射或穿透,最终回来的红光就是\(f[2]\)所代表的部分
观查得出,红光可以如下分类:直接在第\(i\)层反射的光、在第\(i-1\)层反射了一次后回来的光、在第\(i-1\)层反射了两次后回来的光......
\[\begin{aligned}
f[i]=&b[i]\% + a[i]\% \times f[i-1] \times b[i] \% + \\
&a[i]\% \times f[i-1] \times b[i]\% \times f[i-1] \times a[i]..
\end{aligned}
\]
发现,除第一项外,后面项构成了\(a_1=a[i]\%\times a[i]\%\times f[i-1]\),\(q=b[i]\%\times f[i-1]\)的等比数列,因此用通项公式加以优化
\[f[i]=b[i]\% + \frac{(a[i]\%)^2\times f[i-1]\times(1-(b[i]\%\times f[i-1])^n))}{1-b[i]\%\times f[i-1]}
\]
由于数列有无数项,因此\(f[i]\)递推公式的最终版为:
\[f[i]=b[i]\% + \frac{(a[i]\%)^2\times f[i-1]}{1-b[i]\%\times f[i-1]}
\]
令\(g[i]\)为光线到达第\(i\)层玻璃后,能从第\(n\)层射出的部分
还是分情况讨论:直接穿透到下一层、在第\(i-1\)层折回一次后穿透、在第\(i-1\)层折回两次后穿透....
\[\begin{aligned}
g[i] = &a[i]\% \times g[i+1] + b[i]\% \times f[i-1] \times a[i]\% \times g[i+1]+ \\
& (b[i]\% \times f[i-1])^2 \times a[i]\% \times g[i+1] ...
\end{aligned}
\]
同样用等比数列的通项和公式优化
\[g[i]=\frac{a[i]\%\times g[i+1]}{1-b[i]\%\times f[i-1]}
\]
至此,我们得到了\(f[]\)和\(g[]\)的通项公式,答案即为\(g[1]\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lor(a,b,c) for(register int a=b;a<=c;++a)
#define ror(a,b,c) for(register int a=c;a>=b;--a)
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
const ll MOD=1e9+7,REV=570000004;
int n; ll a[N],b[N],f[N],g[N];
inline ll qsm(ll x,ll y) {ll ans=1ll; while(y) {if(y&1) (ans*=x)%=MOD; (x*=x)%=MOD; y>>=1;} return ans;}
inline void inc(ll &a,ll b) {(a+=b)>=MOD?a-=MOD:a;}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&n); lor(i,1,n) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
f[0]=0ll;
lor(i,1,n-1){
f[i]=b[i]*REV%MOD;
ll t1=a[i]*a[i]%MOD*REV%MOD*REV%MOD*f[i-1]%MOD,t2=1ll,t3=b[i]*REV%MOD*f[i-1]%MOD;;
inc(t2,MOD-t3); (t1*=qsm(t2,MOD-2))%=MOD; inc(f[i],t1);
}
g[n+1]=1ll;
ror(i,1,n){
g[i]=a[i]*REV%MOD*g[i+1]%MOD;
ll t1=1ll,t2=b[i]*REV%MOD*f[i-1]%MOD; inc(t1,MOD-t2); (g[i]*=qsm(t1,MOD-2))%=MOD;
}
printf("%lld\n",g[1]);
return 0;
}