扩展欧几里得

数论 扩展欧几里得算法

欧几里得算法，就是gcd的辗转相除法。

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\mod b) \]

扩展欧几里得算法解决如下形式的问题，设存在a和b，求如下方程

\[x\times a+y\times b=gcd(a,b) \]

带入辗转相除法，得到

\[x' \times b + y' \times (a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b)=gcd(a,b) \]

简单整理一下，得到

\[a\times y'+b\times (x'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)=gcd(a,b) \]

因此，得到了

\[x=y' \]

\[y=x'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b \]

这是一种递归算法，递归的边界显然就是

\[gcd(a,b) \times 1 + 0 \times 0 =gcd(a,b) \]

逐层返回，带入式子即可解决

板子：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	int r=exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmpx,tmpy;
	tmpx=y; tmpy=x-a/b*y;
	x=tmpx; y=tmpy;
	return r;
}

扩展欧几里得解出来之后，是个通式

\[x=x_0+b\div gcd(a,b) \times t \]

\[y=y_0-a\div gcd(a,b) \times t \]

应用：求解乘法逆元

求a在m意义下的乘法逆元p，且a，m互质

\[a\times p\equiv 1 (\mod m) \Rightarrow a\times p + m\times q=gcd(a,m)=1 \]

那么，求解一下exgcd(a,m,x,y)，x即为a在m意义下的乘法逆元。注意，x有可能小于等于0，加上一个m即可。