矩阵
数论 矩阵
1 矩阵——定义相关
1.1 什么是矩阵？
矩阵是由\(n\times m\)个数排成的数表
1.2 特殊矩阵
（一） 零矩阵
元素均为零的一类矩阵
（二） 对角矩阵
除对角元素外，其余元素均为零的一类矩阵
定义:
\(diag(a_1,a_2,...,a_n)\)表示一个对角元素为\(a_1,a_2,...,a_n\)的对角矩阵
（三） 单位矩阵
\(diag(1,1,...,1)\)
(四） 纯量矩阵
\(diag(c,c,c,...,c)\)
（五） 上三角矩阵
主对角线以下都是零的方阵
（六） 下三角矩阵
主对角线以上都是零的方阵（顾名思意，就是上三角矩阵的相反嘛）
（七） 对称矩阵
以主对角线为对称轴对应相等的矩阵
（八） 反对称矩阵
对角线为零，对应位置为相反数的矩阵
2 矩阵乘法
2.1 矩阵运算
（1） 相等：大小相等，且对应位置数字相等
（2） 加法：\(A_{n\times m}+B_{n\times m}=C_{n\times m}\)对应位置数字相加
（3） 减法： 与加法同理
（4） 数量乘法：\(k\times A_{n\times m}= C_{n\times m}\)对应位置乘以系数
（5） 矩阵乘法：\(A_{n\times m}\times B_{m\times k}=C_{n\times k}\)
2.2 矩阵乘法的实现技巧
矩阵乘法时，n,m,k,的枚举顺序不同，虽然复杂度同为\(O(n\times m\times k)\)，但实测会有很大的差距
结论：以\(n\rightarrow m \rightarrow k\)的顺序枚举最佳
差距来源：从数组中取出一个元素的时间不同。访问了数组的一个数字后，该数字后几位将被压进“缓存”中，而“缓存”的访问速度远高于“内存”。
顺序枚举>>随机枚举；正序枚举>>倒序枚举
2.3 矩阵乘法性质
- 任意矩阵乘以零矩阵等于零矩阵，任意矩阵乘以单位矩阵等于原矩阵
2） 具有结合律，但不具有交换律
3）
左分配律：\(A\times(B+C)=A\times B+A\times C\)
右分配律：\((A+B)\times C=A\times C+B\times C\)
2.4 矩阵乘法的应用
（一） 数列递推：矩阵乘法+快速幂
（二） 形态像矩阵的DP
