行列式
数论 行列式
1.1 一些前置知识——排列
排列:从n个不同元素中任取m个元素,按照一定的顺序排列,就是从n个不同元素中抽取m个元素的一个排列
逆序对:\(\exists i<j \quad a_i>a_j\)
对换:交换排列的两个数
奇偶性:偶数个逆序对则是偶排列;奇数个逆序对则是奇排列。
1.2 排列的定理
(一): 对换改变排列的奇偶性
易证:交换相邻两个数,必定改变奇偶性
易证:交换对列中任意两个数可由交换相邻的两下数奇数次得到
综上得证ψ(`∇´)ψ
(二): 在全部n阶(n$\geq$2)排列中,奇偶各占一半
证:
结论一:奇排列数量\(\leq\)偶排列
结论一证明:\(a_1,a_2,a_3,...,a_n(奇)\Rightarrow_{对换}a_1,a_3,a_2,...,a_n(偶)\)
因此,一个偶排列必定可以从一个奇排列转移过来,数量必定大于奇排列的数量
结论二:奇排列数量\(\geq\)偶排列
结论二证明:同理可得
综上可证( ̄y▽, ̄)╭
(三)任意排列可经过一系列对换成为自然排列。对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同。
应该不需要证明吧/逃( ̄▽ ̄)*
2.1 行列式
定义:n阶行列式为有\(n^2\)个数的方阵。与矩阵是数表不同的是,行列式是有确切的值的。
2.2 行列式定理
(一) 行列式的行列交换(也可理解为沿对角线对称),值不变
定义中,一行只出一个,人列只出一个,因此行列的地位相同
(二) 用一数字(\(k\))乘以行列式某一行后的值,等于用该数(\(k\))乘以该行列式的值
(三) 满足分配律
\((7\ 8\ 9)=(2\ 3\ 3)=(5\ 5\ 6)\)
(四) 交换两行,行列式反号
(五) 行列式中有两行相同,则值为零
证:
交换这两行,值反号;但由于行列式本质上没有发生改变,因此值不变;能同时满足上述两点的,只有当行列式值为零时。
(六) 行列式中,若一行是其它行的若干倍,则值为零
证:
有了第三条和第五条性质后,组合一下易证(/▽\)
(七) 把一行的某倍加到另一行,行列式值不变
在第六条性质的基础上再利用一下分配律
2.2 行列式求值
既然行列式比矩阵多的一条特性:求值。那么考虑一下求值方法应当是显然的吧(‾◡◝)
2.2.1 定义法
首先声明:本解法不具有实用性
顾名思义,按照定义去值即可。但我不会生成全排列(/▽\)复杂度也达到了\(O(n\times n!)\)显然不可接受
2.2.2 高斯消元法
可以发现,当行列式消成上三角矩阵的时候,行列式的值是显然的。
因为只有枚举到主对角线才是有意义的,其余情况下都会被归零
因此如果有一种方法能高效地消元,问题便得到了解决。高斯消元法便为我们提供了一个\(O(n^3)\)的方法。为了篇幅整洁,将“高斯消元法”专开一文,单独记录