行列式

数论 行列式

1.1 一些前置知识——排列

排列：从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排列，就是从n个不同元素中抽取m个元素的一个排列

逆序对：\(\exists i<j \quad a_i>a_j\)

对换：交换排列的两个数

奇偶性：偶数个逆序对则是偶排列；奇数个逆序对则是奇排列。

1.2 排列的定理

（一）： 对换改变排列的奇偶性

易证：交换相邻两个数，必定改变奇偶性

易证：交换对列中任意两个数可由交换相邻的两下数奇数次得到

综上得证ψ(｀∇´)ψ

（二）： 在全部n阶(n$\geq$2)排列中，奇偶各占一半

证：

结论一：奇排列数量\(\leq\)偶排列

结论一证明：\(a_1,a_2,a_3,...,a_n（奇）\Rightarrow_{对换}a_1,a_3,a_2,...,a_n（偶）\)

因此，一个偶排列必定可以从一个奇排列转移过来，数量必定大于奇排列的数量

结论二：奇排列数量\(\geq\)偶排列

结论二证明：同理可得

综上可证(￣y▽,￣)╭

（三）任意排列可经过一系列对换成为自然排列。对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同。

应该不需要证明吧/逃_(￣▽￣)*

2.1 行列式

定义：n阶行列式为有\(n^2\)个数的方阵。与矩阵是数表不同的是，行列式是有确切的值的。

2.2 行列式定理

（一） 行列式的行列交换（也可理解为沿对角线对称），值不变

定义中，一行只出一个，人列只出一个，因此行列的地位相同

（二） 用一数字(\(k\))乘以行列式某一行后的值，等于用该数(\(k\))乘以该行列式的值

（三） 满足分配律

\((7\ 8\ 9)=(2\ 3\ 3)=(5\ 5\ 6)\)

(四） 交换两行，行列式反号

（五） 行列式中有两行相同，则值为零

证：

交换这两行，值反号；但由于行列式本质上没有发生改变，因此值不变；能同时满足上述两点的，只有当行列式值为零时。

（六） 行列式中，若一行是其它行的若干倍，则值为零

证：

有了第三条和第五条性质后，组合一下易证(/▽＼)

（七） 把一行的某倍加到另一行，行列式值不变

在第六条性质的基础上再利用一下分配律

2.2 行列式求值

既然行列式比矩阵多的一条特性：求值。那么考虑一下求值方法应当是显然的吧(‾◡◝)

2.2.1 定义法

首先声明：本解法不具有实用性

顾名思义，按照定义去值即可。但我不会生成全排列(/▽＼)复杂度也达到了\(O(n\times n!)\)显然不可接受

2.2.2 高斯消元法

可以发现，当行列式消成上三角矩阵的时候，行列式的值是显然的。

因为只有枚举到主对角线才是有意义的，其余情况下都会被归零

因此如果有一种方法能高效地消元，问题便得到了解决。高斯消元法便为我们提供了一个\(O(n^3)\)的方法。为了篇幅整洁，将“高斯消元法”专开一文，单独记录