题解 P7914 【[CSP-S 2021] 括号序列】（区间 dp，前缀和优化）
这是一篇带着牢骚的题解（见末尾），为了纪念我支离破碎的 CSP2021。
括号串题，考场上第一眼看过去以为 * 能在满足 \(k\) 的情况下随便插入，于是设 \(f[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 个字符、有 \(j\) 个带匹配的 (、并且末尾有 \(k\) 个连续 * 的合法串数量，随便转移一下就可以了，光速码完后发现过不了第一个样例，然后发现自己太 navie 了。
发现线性 dp 貌似不好实现，改用区间 dp 试试。
设 \(f[l,r]\) 表示区间 \([l,r]\) 的合法串数量，那么有一下几种情况：
-
\(s[l]\) 和 \(s[r]\) 分别可以是
(和)，\([l+1,k]\) 可以是*，那么就由 \(f[k+1,r-1]\) 转移过来。 -
\(s[l]\) 和 \(s[r]\) 分别可以是
(和)，\([k,r-1]\) 可以是*，那么就由 \(f[l+1,k-1]\) 转移过来。 -
\(s[l]\) 和 \(s[r]\) 分别可以是
(和)，\([l+1,r-1]\) 可以是*，那么就由 \(f[l+1,k-1]\) 转移过来。（可以在处理上面两种时顺带转移掉） -
由 \(f[l,k]\) 和 \(f[k+1,r]\) 转移过来。
-
\([k+1,d-1]\) 可以是
*，由 \(f[l,k]\) 和 \(f[d,r]\) 转移过来。
枚举 \(l\) 和 \(r\) 需要 \(O(n^2）\)，其中第 \(5\) 种的转移需要 \(O(n^2)\)，复杂度是 \(O(n^4)\)，显然过不了。
但仔细发现第 \(5\) 种中 \(d\) 的枚举可以用后缀和优化掉，于是变成了 \(O(n^3)\)。
码完后你就会发现第 \(2\) 给样例过不了。
因为第 \(4\) 种和第 \(5\) 种转移有问题，一个例子： ()()()。此时 \(f[1,2]\cdot f[3,6]\) 和 \(f[1,4]\cdot f[5,6]\) 两种转移实际上重复了。
怎么解决？
令 \(P\) 为形如 ()、(A)、(S)、(AS)、(SA) 的串，那么这种会重复转移的串就形如：\(P_1P_2P_3\ldots P_m\)（相邻的 \(P\) 中间有可能有若干 *，下同)，我们可以枚举 \(P_1\)，而剩下的 \(P_2P_3\ldots P_m\) 就是一个普通的合法串，这样的转移就没有重复了。
那么我们就可以额外设 \(g[l,r]\) 表示区间 \([l,r]\) 形如 \(P\) 的数量（相当于只有第 \(1,2,3\) 种转移的 \(f[l,r]\)）。
过不了第一个样例的线性 dp 代码：link
100pts 的区间 dp 代码：link
最后谈一下感想吧，我本身属于那种思维能力不强的选手，考场上看到 T1T3 这种一股 cf 味的题肯定是放到后面做的。T1T3 暴力写完后去推了会 T1，发现不是单峰函数之后就直接放弃了，接下来就是漫长的刚 T2 的过程，中间无数次发现题目读错，代码删删写写，但是始终过不了第 \(2\) 个样例，最后人已经是麻木的了，最后 15min 的时候回头去看看 T1，发现机廊增加时新来的飞机停在哪个机廊是没有影响的，一个 set 的做法就立马会了，但是最终还是没打完。
考完后发现自己 T2 没过样例 \(2\) 是因为把一个地方的 s[k] 打成了 k，这么一个 zz 的错误耗掉了几乎整场考试的时间。
或许我可以说，是考场降智没让我一眼看出 T1 的性质。
或许我可以说，是一个手残让我把 T2 的 100pts 亲手变成了 0pts。
或许我可以说，我运气不好，开题的顺序不对，但凡先去刚 T1T3 都能有 200+
但这已经不重要了，重要的就是我很弱，我 cf 打的少，我不敢面对自己思维能力弱这个事实。
现在已经初三了，说早也不早，说晚也不晚。
以前你我见识自为高过世人,我今日才知自误了。以后还该立志功名,以荣耀显达为是。
