题解 P7914 【[CSP-S 2021] 括号序列】（区间 dp，前缀和优化）

这是一篇带着牢骚的题解（见末尾），为了纪念我支离破碎的 CSP2021。

括号串题，考场上第一眼看过去以为 * 能在满足 $k$ 的情况下随便插入，于是设 $f[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个字符、有 $j$ 个带匹配的 (、并且末尾有 $k$ 个连续 * 的合法串数量，随便转移一下就可以了，光速码完后发现过不了第一个样例，然后发现自己太 navie 了。

发现线性 dp 貌似不好实现，改用区间 dp 试试。

设 $f[l,r]$ 表示区间 $[l,r]$ 的合法串数量，那么有一下几种情况：

$s[l]$ 和 $s[r]$ 分别可以是 ( 和 )， $[l+1,k]$ 可以是 *，那么就由 $f[k+1,r-1]$ 转移过来。
$s[l]$ 和 $s[r]$ 分别可以是 ( 和 )， $[k,r-1]$ 可以是 *，那么就由 $f[l+1,k-1]$ 转移过来。
$s[l]$ 和 $s[r]$ 分别可以是 ( 和 )， $[l+1,r-1]$ 可以是 *，那么就由 $f[l+1,k-1]$ 转移过来。（可以在处理上面两种时顺带转移掉）
由 $f[l,k]$ 和 $f[k+1,r]$ 转移过来。
$[k+1,d-1]$ 可以是 *，由 $f[l,k]$ 和 $f[d,r]$ 转移过来。

枚举 $l$ 和 $r$ 需要 $O(n^2）$ ，其中第 $5$ 种的转移需要 $O(n^2)$ ，复杂度是 $O(n^4)$ ，显然过不了。

但仔细发现第 $5$ 种中 $d$ 的枚举可以用后缀和优化掉，于是变成了 $O(n^3)$ 。

码完后你就会发现第 $2$ 给样例过不了。

因为第 $4$ 种和第 $5$ 种转移有问题，一个例子： ()()()。此时 $f[1,2]\cdot f[3,6]$ 和 $f[1,4]\cdot f[5,6]$ 两种转移实际上重复了。

怎么解决？

令 $P$ 为形如 ()、(A)、(S)、(AS)、(SA) 的串，那么这种会重复转移的串就形如： $P_1P_2P_3\ldots P_m$ （相邻的 $P$ 中间有可能有若干 *，下同)，我们可以枚举 $P_1$ ，而剩下的 $P_2P_3\ldots P_m$ 就是一个普通的合法串，这样的转移就没有重复了。

那么我们就可以额外设 $g[l,r]$ 表示区间 $[l,r]$ 形如 $P$ 的数量（相当于只有第 $1,2,3$ 种转移的 $f[l,r]$ ）。

过不了第一个样例的线性 dp 代码：link

100pts 的区间 dp 代码：link

最后谈一下感想吧，我本身属于那种思维能力不强的选手，考场上看到 T1T3 这种一股 cf 味的题肯定是放到后面做的。T1T3 暴力写完后去推了会 T1，发现不是单峰函数之后就直接放弃了，接下来就是漫长的刚 T2 的过程，中间无数次发现题目读错，代码删删写写，但是始终过不了第 $2$ 个样例，最后人已经是麻木的了，最后 15min 的时候回头去看看 T1，发现机廊增加时新来的飞机停在哪个机廊是没有影响的，一个 set 的做法就立马会了，但是最终还是没打完。

考完后发现自己 T2 没过样例 $2$ 是因为把一个地方的 s[k] 打成了 k，这么一个 zz 的错误耗掉了几乎整场考试的时间。

或许我可以说，是考场降智没让我一眼看出 T1 的性质。

或许我可以说，是一个手残让我把 T2 的 100pts 亲手变成了 0pts。

或许我可以说，我运气不好，开题的顺序不对，但凡先去刚 T1T3 都能有 200+

但这已经不重要了，重要的就是我很弱，我 cf 打的少，我不敢面对自己思维能力弱这个事实。

现在已经初三了，说早也不早，说晚也不晚。

以前你我见识自为高过世人,我今日才知自误了。以后还该立志功名,以荣耀显达为是。

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本文作者：Legitimity
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