丑数

题目

　　把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数

思路

一 ，假设这个数为 n， 如果n是丑数，只有三种可能：

1. n是能整除2，即 n % 2 == 0，且 n/2 是丑数。
2. n % 3 == 0 且 n/3是丑数。
3. n % 5 == 0且 n / 5是丑数。

三种可能只要满足其中一种，就可以确认是丑数了。

二 ，为了优化内存，只能想办法不存储所有的数了，而是用一个集合存储所有的丑数，如果要求第n个丑数，也就最多使用n个存储空间。而判断一个数是不是丑数的方法就是判断该数在不在这个集合中。

　　可用unordered_set容器来存储“丑数”，先判断这个数是否在容器中，若是不在，并且该数是个“丑数”，就添加到容器中。

三，如果已知了n个丑数，第n+1个丑数必然是前面的某个丑数乘以2，或者乘以3，或者乘以5。至于是谁，就是都尝试一下，取最小。

现在已知6个丑数 1 2 3 4 5 6， 求第7个丑数。

可以翻译成：假设dp[i]表示第i个丑数的数值，已知丑数的个数为count=6，且前6个丑数 dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=3;dp[4]=4;dp[5]=5;dp[6]=6; 求dp[7]。

则dp[7]可能有三种情况：

• 从i=1开始按顺序求v = dp[i]*2，当v>dp[6]，可以停止，则第4个丑数乘2得到的8可能是第7个丑数。
• 从i=1开始按顺序求v = dp[i]*3，当v>dp[6]，可以停止，则第3个丑数乘3得到的9可能是第7个丑数。
• 从i=1开始按顺序求v = dp[i]*5，当v>dp[6]，可以停止，则第3个丑数乘5得到的10可能是第7个丑数。

取三种情况的最小值，得到8，就是第7个丑数，即dp[7] = 8。

依此类推，可以求得第8个丑数。

有个小优化，按顺序搜索的时候并不需要每次都从1开始，只需要从上次搜索的结束点继续搜索就行了。

例如求dp[8]，同样有三种情况：

• 从i=4开始按顺序求v = dp[i]*2，当v>dp[7]，可以停止，则第5个丑数乘2得到的10可能是第8个丑数。
• 从i=3开始按顺序求v = dp[i]*3，当v>dp[7]，可以停止，则第3个丑数乘3得到的9可能是第8个丑数。
• 从i=2开始按顺序求v = dp[i]*5，当v>dp[7]，可以停止，则第2个丑数乘5得到的10可能是第8个丑数。

取三种情况的最小值，得到10，即dp[8] = 9。

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        if (n <= 6) {
            return n;
        }

        vector<int> arr(n + 1);
        for (int i = 1; i <= 6; ++i) {
            arr[i] = i;
        }

        int index = 6;
        int start1 = 1, start2 = 1, start3 = 1;
        while (index < n) {
            for (int i = start1; i <= index; ++i) {
                if (arr[i] * 2 > arr[index]) {
                    start1 = i;
                    break;
                }
            }

            for (int i = start2; i <= index; ++i) {
                if (arr[i] * 3 > arr[index]) {
                    start2 = i;
                    break;
                }
            }

            for (int i = start3; i <= index; ++i) {
                if (arr[i] * 5 > arr[index]) {
                    start3 = i;
                    break;
                }
            }
            arr[++index] = min(min(arr[start1] * 2, arr[start2] * 3), arr[start3] * 5);
        }
        return arr[index];
    }
};