剪绳子

题目

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

例子

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题解析

1. 问题是求最优解
2. 整体的问题的最优解是依赖各个子问题的最优解
3. 子问题之间还有互相重叠的更小的子问题
4. 为避免子问题的重复计算，我们存储子问题的最优解。从上往下分析问题，从下往上求解问题

动态规划

1. 定义函数f(n)表示为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。
2. 对于第一刀，我们有n-1种可能的选择，可推导出f(n)=max{f(i)*f(n-i)};
3. 很明显这是一个从上至下的递归，但是这个递归存在很多重复的计算，所以使用至下而上的动态规划，将子问题的最优解保存。
4. 注意绳子剪成ix(n-i)和(n-i)xi是相同的；
5. 注意不符合切割条件的输入n，以及输入为2、3长度时的结果，因为题中规定m>1。

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if (n < 2) {//当长度小于2，无法减，因为至少减一次 
            return 0;
        }
        else if (n == 2) {//只能减为1  1 
            return 1;
        }
        else if (n == 3) {//有 1 1 1 和1 2 两种可能，最大是2 
            return 2;
        }

        vector<int> res(n + 1, 0);//第i个元素表示把长度为i的绳子减若干段后各段长度成绩的最大值 
        res[0] = 0;
        res[1] = 1;
        res[2] = 2;//n==2时值不是1的原因:此时长度大于2，二小于等于二是不剪是最大值，只记录最大值
        res[3] = 3;
        for (int i = 4; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
                int tmp = res[i - j] * res[j];
                if (tmp > res[i]) {
                    res[i] = tmp;
                }
            }
        }
        return res[n];
    }
};