[数据结构与算法 02] 复杂度分析

参考：https://time.geekbang.org/column/article/40036 

复杂度也叫渐进复杂度，包括

  • 时间复杂度
  • 空间复杂度

用来分析算法执行效率/存储空间与数据规模之间的增长关系，

可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)

几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个

 

 

一、算法的执行效率

粗略的讲就是 算法代码的执行时间

 

二、复杂度分析

  • 空间复杂度分析
  • 时间复杂度分析： 在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间

大O复杂度的由来和表示方法

实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是

表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度

“表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”

思路：

1. 这里有段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间

  • int cal(int n) {
int sum = 0;
    int i = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}
  • 从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据 - 运算 - 写数据
  • 尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，

所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time

在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

1） 第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，

2） 第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，

所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。

可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

2. 按照这个分析思路，我们再来看这段代码

  • int cal(int n) {
    int sum = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        j = 1;
        for (; j <= n; ++j) {
            sum = sum +  i * j;
        }
    }
}

依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

1） 第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间

2） 第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间

3） 第 7、8 行代码循环执行了 n2遍，需要 2n2* unit_time 的执行时间。

所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，

但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是

所有代码的执行时间 T(n) 与 每行代码的执行次数 n 成正比。

解释下这个公式：

  • T(n) 表示代码执行的时间
  • n 表示数据规模的大小
  • f(n) 表示每行代码执行的次数总和

因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比

 

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。

而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。

我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的

时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)

 

三、如何分析一段代码的时间复杂度？  这里有三个方法

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。

所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也

只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度

  • // 举个例子
    int     cal(int n) {
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。

循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。

前面我们也讲过，这4、5行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

 

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

  • // 举个例子
int cal(int n) {
    int sum_1 = 0;
    int p = 1;
    for (; p < 100; ++p) {
        sum_1 = sum_1 + p;
    } // 常量级别 复杂度不计

    int sum_2 = 0;
    int q = 1;
    for (; q < n; ++q) {
        sum_2 = sum_2 + q;
    } // 复杂度 n 即 O(n)
 
    int sum_3 = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        j = 1; 
        for (; j <= n; ++j) {
            sum_3 = sum_3 +  i * j;
        }
    } // 复杂度 n 的平方 O(n2)
 
    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}

注意：

1） 整段代码的复杂度 = 复杂度最大的那段代码的 复杂度

2） 常量级别 复杂度可忽略不计

只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。

当 n 无限大的时候，就可以忽略。

尽管 这段常量级别复杂度的代码 对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。

因为它本身对增长趋势并没有影响

总结：

如果

T1(n)=O(f(n))

T2(n)=O(g(n))；

那么

T(n) = T1(n) + T2(n) = max( O(f(n)), O(g(n)) ) = O(max( f(n), g(n)) ).

 

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

  • // 举个例子
    int     inner(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
       sum = sum + i;
   } 
   return sum;
} // 复杂度 n 即 O(n)

int outer(int n) {
    int ret = 0; 
    int i = 1;
    for (; i < n; ++i) {
        ret = ret + inner(i);
    } 
} // 复杂度 n 即 O(n)

 

四、常见多项式时间复杂度实例分析： 几乎涵盖今后所有接触的代码的复杂度量级

  • 左边的为多项式量级
  • 右边的为非多项式量级

我们把时间复杂度为 非多项式量级的算法问题 叫做 “NP问题” ---- Non-Deterministic Polynomial,. 非确定多项式

当 数据规模 n 的越来越大时，非多项式量级算法 的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长

所以 非多项式时间复杂度的算法是 非常低效的算法

1. 常量阶 O(1)

首先需要明确一个概念：

  • O(1) 并非指一行代码
  • 而是指常量级别的时间复杂度

比如下面这段代码，即使有三行，它的时间复杂度是 O(1)， 而非 O(3)

  • int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
  • 这段代码中，没有增长的数据规模n
  • 无论数据规模n 怎么增长，始终是三行代码，

所以这段代码的时间复杂度是 O(1)

总结： “一般情况下，只要代码中没有循环语句，递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 O(1)”

 

2. 对数阶 O(logn)    /    O(nlogn)    --------    最常见最难分析的一种 时间复杂度

  • // 举个例子
i=1;
while (i <= n)  {
    i = i * 2;
}

根据我们之前的分析方法可知：

第三行代码是执行次数最多的

循环 x 次， 时间复杂度就是 x

所以我们只要计算出这行代码被执行了多少次， 就能知道这段代码的时间复杂度

于是分析：

1） 变量 i 从 1 开始，每循环一次就 乘以 2

2） 当 i 大于 n 时，循环结束

 

则 循环总次数 x  为：

即时间复杂度 O(log2n)

再看一个代码

  • // 举一个例子
i=1;
 while (i <= n)  {
    i = i * 3;
}    // 时间复杂度 为 O(log3n)

实际上，不管是以 2 为底、3 为底、10 为底，我们都可与把所有的对数阶时间复杂度记为 O(logn)

为什么呢？     拿 log3n 举例

因为数学知识可以知道

log3n    就等于    log32 * log2n

而之前说过，在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略常量系数

所以 log2n 就等于 log3n

也因此 我们也忽略底，称对数阶的时间复杂度 统一表示为 O(logn)

O(nlogn) 就很容易理解了。

还记得我们刚讲的乘法法则吗？

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了

而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。

比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)

 

3. 由两个数据规模决定的时间复杂度 O(m+n)、O(m*n)

 

五、空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity） -------- 算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

回顾下 时间复杂度 -------- “时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”

  • // 举个例子
void print(int n) {
    int i = 0;
    int[] a = new int[n];    // 申请一个 n 大小的int 类型的数组
    for (i; i <n; ++i) {
        a[i] = i * i;
    }

    for (i = n-1; i >= 0; --i) {
        print out a[i]
    }
}

除了第三行之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)

像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到

而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了

 

posted @ 2020-01-31 17:37  耶梦加德  阅读(308)  评论(0)  编辑  收藏  举报