[数据结构与算法 02] 复杂度分析
参考:https://time.geekbang.org/column/article/40036
复杂度也叫渐进复杂度,包括
- 时间复杂度
- 空间复杂度
用来分析算法执行效率/存储空间与数据规模之间的增长关系,
可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。
常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)
几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个
一、算法的执行效率
粗略的讲就是 算法代码的执行时间
二、复杂度分析
- 空间复杂度分析
- 时间复杂度分析: 在不运行代码的情况下,用“肉眼”得到一段代码的执行时间
大O复杂度的由来和表示方法
实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是
表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度
“表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”
思路:
1. 这里有段非常简单的代码,求 1,2,3…n 的累加和。现在,我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间
-
int cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i <= n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }
- 从 CPU 的角度来看,这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据 - 运算 - 写数据
- 尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,
所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time
在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?
1) 第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,
2) 第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n*unit_time 的执行时间,
所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。
可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
2. 按照这个分析思路,我们再来看这段代码
-
int cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; int j = 1; for (; i <= n; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum = sum + i * j; } } }
依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?
1) 第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间
2) 第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间
3) 第 7、8 行代码循环执行了 n2遍,需要 2n2* unit_time 的执行时间。
所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time
尽管我们不知道 unit_time 的具体值,
但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是
所有代码的执行时间 T(n) 与 每行代码的执行次数 n 成正比。
解释下这个公式:
- T(n) 表示代码执行的时间
- n 表示数据规模的大小
- f(n) 表示每行代码执行的次数总和
因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比
所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)
当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。
而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。
我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的
时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n2)
三、如何分析一段代码的时间复杂度? 这里有三个方法
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。
所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也
只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。
这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度
-
// 举个例子
int cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i <= n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。
循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。
前面我们也讲过,这4、5行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。
2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
-
// 举个例子 int cal(int n) { int sum_1 = 0; int p = 1; for (; p < 100; ++p) { sum_1 = sum_1 + p; } // 常量级别 复杂度不计 int sum_2 = 0; int q = 1; for (; q < n; ++q) { sum_2 = sum_2 + q; } // 复杂度 n 即 O(n) int sum_3 = 0; int i = 1; int j = 1; for (; i <= n; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum_3 = sum_3 + i * j; } } // 复杂度 n 的平方 O(n2) return sum_1 + sum_2 + sum_3; }
注意:
1) 整段代码的复杂度 = 复杂度最大的那段代码的 复杂度
2) 常量级别 复杂度可忽略不计
只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。
当 n 无限大的时候,就可以忽略。
尽管 这段常量级别复杂度的代码 对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。
因为它本身对增长趋势并没有影响
总结:
如果
T1(n)=O(f(n))
T2(n)=O(g(n));
那么
T(n) = T1(n) + T2(n) = max( O(f(n)), O(g(n)) ) = O(max( f(n), g(n)) ).
3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
-
// 举个例子
int inner(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i < n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; } // 复杂度 n 即 O(n) int outer(int n) { int ret = 0; int i = 1; for (; i < n; ++i) { ret = ret + inner(i); } } // 复杂度 n 即 O(n)
四、常见多项式时间复杂度实例分析: 几乎涵盖今后所有接触的代码的复杂度量级
- 左边的为多项式量级
- 右边的为非多项式量级
我们把时间复杂度为 非多项式量级的算法问题 叫做 “NP问题” ---- Non-Deterministic Polynomial,. 非确定多项式
当 数据规模 n 的越来越大时,非多项式量级算法 的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长
所以 非多项式时间复杂度的算法是 非常低效的算法
1. 常量阶 O(1)
首先需要明确一个概念:
- O(1) 并非指一行代码
- 而是指常量级别的时间复杂度
比如下面这段代码,即使有三行,它的时间复杂度是 O(1), 而非 O(3)
-
int i = 8; int j = 6; int sum = i + j;
- 这段代码中,没有增长的数据规模n
- 无论数据规模n 怎么增长,始终是三行代码,
所以这段代码的时间复杂度是 O(1)
总结: “一般情况下,只要代码中没有循环语句,递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 O(1)”
2. 对数阶 O(logn) / O(nlogn) -------- 最常见最难分析的一种 时间复杂度
-
// 举个例子 i=1; while (i <= n) { i = i * 2; }
根据我们之前的分析方法可知:
第三行代码是执行次数最多的
循环 x 次, 时间复杂度就是 x
所以我们只要计算出这行代码被执行了多少次, 就能知道这段代码的时间复杂度
于是分析:
1) 变量 i 从 1 开始,每循环一次就 乘以 2
2) 当 i 大于 n 时,循环结束
则 循环总次数 x 为:
即时间复杂度 O(log2n)
再看一个代码
-
// 举一个例子 i=1; while (i <= n) { i = i * 3; } // 时间复杂度 为 O(log3n)
实际上,不管是以 2 为底、3 为底、10 为底,我们都可与把所有的对数阶时间复杂度记为 O(logn)
为什么呢? 拿 log3n 举例
因为数学知识可以知道
log3n 就等于 log32 * log2n
而之前说过,在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略常量系数
所以 log2n 就等于 log3n
也因此 我们也忽略底,称对数阶的时间复杂度 统一表示为 O(logn)
O(nlogn) 就很容易理解了。
还记得我们刚讲的乘法法则吗?
如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了
而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。
比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)
3. 由两个数据规模决定的时间复杂度 O(m+n)、O(m*n)
五、空间复杂度
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity) -------- 算法的存储空间与数据规模之间的增长关系
回顾下 时间复杂度 -------- “时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”
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// 举个例子 void print(int n) { int i = 0; int[] a = new int[n]; // 申请一个 n 大小的int 类型的数组 for (i; i <n; ++i) { a[i] = i * i; } for (i = n-1; i >= 0; --i) { print out a[i] } }
除了第三行之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)
常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)
像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到
而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了