[数据结构与算法 02] 复杂度分析

参考:https://time.geekbang.org/column/article/40036 

复杂度也叫渐进复杂度,包括

  • 时间复杂度
  • 空间复杂度

用来分析算法执行效率/存储空间数据规模之间的增长关系,

可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。

常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)

几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个

 

 

一、算法的执行效率

粗略的讲就是 算法代码的执行时间

 

二、复杂度分析

  • 空间复杂度分析
  • 时间复杂度分析: 在不运行代码的情况下,用“肉眼”得到一段代码的执行时间

大O复杂度的由来和表示方法

实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是

表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度

“表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”

思路:

1. 这里有段非常简单的代码,求 1,2,3…n 的累加和。现在,我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间

  • int cal(int n) {
    int sum = 0;
        int i = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            sum = sum + i;
        }
        return sum;
    }
  • 从 CPU 的角度来看,这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据 运算 写数据
  • 尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,

所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time

在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?

1) 第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,

2) 第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n*unit_time 的执行时间,

所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。

可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

2. 按照这个分析思路,我们再来看这段代码

  • int cal(int n) {
        int sum = 0;
        int i = 1;
        int j = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            j = 1;
            for (; j <= n; ++j) {
                sum = sum +  i * j;
            }
        }
    }

依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?

1) 第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间

2) 第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间

3) 第 7、8 行代码循环执行了 n2遍,需要 2n2* unit_time 的执行时间。

所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time

尽管我们不知道 unit_time 的具体值,

但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是

所有代码的执行时间 T(n) 与 每行代码的执行次数 n 成正比

解释下这个公式:

  • T(n) 表示代码执行的时间
  • n 表示数据规模的大小
  • f(n) 表示每行代码执行的次数总和

因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比

 

所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)

当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。

而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。

我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的

时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n2)

 

三、如何分析一段代码的时间复杂度?  这里有三个方法

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。

所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也

只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度

  • // 举个例子
    int
    cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i <= n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。

循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。

前面我们也讲过,这4、5行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。

 

2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

  • // 举个例子
    int cal(int n) {
        int sum_1 = 0;
        int p = 1;
        for (; p < 100; ++p) {
            sum_1 = sum_1 + p;
        } // 常量级别 复杂度不计
    
        int sum_2 = 0;
        int q = 1;
        for (; q < n; ++q) {
            sum_2 = sum_2 + q;
        } // 复杂度 n 即 O(n)
     
        int sum_3 = 0;
        int i = 1;
        int j = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            j = 1; 
            for (; j <= n; ++j) {
                sum_3 = sum_3 +  i * j;
            }
        } // 复杂度 n 的平方 O(n2)
     
        return sum_1 + sum_2 + sum_3;
    }

注意:

1) 整段代码的复杂度 = 复杂度最大的那段代码的 复杂度

2) 常量级别 复杂度可忽略不计

只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。

当 n 无限大的时候,就可以忽略。

尽管 这段常量级别复杂度的代码 对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。

因为它本身对增长趋势并没有影响

总结:

如果

T1(n)=O(f(n))

T2(n)=O(g(n));

那么

T(n) = T1(n) + T2(n) = max( O(f(n)), O(g(n)) ) = O(max( f(n), g(n)) ).

 

3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

  • // 举个例子
    int
    inner(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i < n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; } // 复杂度 n 即 O(n) int outer(int n) { int ret = 0; int i = 1; for (; i < n; ++i) { ret = ret + inner(i); } } // 复杂度 n 即 O(n)

 

四、常见多项式时间复杂度实例分析几乎涵盖今后所有接触的代码的复杂度量级

  • 左边的为多项式量级
  • 右边的为非多项式量级

我们把时间复杂度为 非多项式量级的算法问题 叫做 “NP问题” ---- Non-Deterministic Polynomial,. 非确定多项式

当 数据规模 n 的越来越大时,非多项式量级算法 的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长

所以 非多项式时间复杂度的算法是 非常低效的算法

1. 常量阶 O(1)

首先需要明确一个概念:

  • O(1) 并非指一行代码
  • 而是指常量级别的时间复杂度

比如下面这段代码,即使有三行,它的时间复杂度是 O(1), 而非 O(3)

  • int i = 8;
    int j = 6;
    int sum = i + j;
  • 这段代码中,没有增长的数据规模n
  • 无论数据规模n 怎么增长,始终是三行代码,

所以这段代码的时间复杂度是 O(1)

总结: “一般情况下,只要代码中没有循环语句,递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 O(1)

 

2. 对数阶 O(logn)    /    O(nlogn)    --------    最常见最难分析的一种 时间复杂度

  • // 举个例子
    i=1;
    while (i <= n)  {
        i = i * 2;
    }

根据我们之前的分析方法可知:

第三行代码是执行次数最多的

循环 x 次, 时间复杂度就是 x

所以我们只要计算出这行代码被执行了多少次, 就能知道这段代码的时间复杂度

于是分析:

1) 变量 i 从 1 开始,每循环一次就 乘以 2

2) 当 i 大于 n 时,循环结束

 

则 循环总次数 x  为:

即时间复杂度 O(log2n)

再看一个代码

  • // 举一个例子
    i=1;
     while (i <= n)  {
        i = i * 3;
    }    // 时间复杂度 为 O(log3n)

实际上,不管是以 2 为底、3 为底、10 为底,我们都可与把所有的对数阶时间复杂度记为 O(logn)

为什么呢?     拿 log3n 举例

因为数学知识可以知道

log3n    就等于    log32 * log2n

而之前说过,在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略常量系数

所以 log2n 就等于 log3n

也因此 我们也忽略底,称对数阶的时间复杂度 统一表示为 O(logn)

O(nlogn) 就很容易理解了。

还记得我们刚讲的乘法法则吗?

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了

而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。

比如,归并排序快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)

 

3. 由两个数据规模决定的时间复杂度 O(m+n)、O(m*n)

 

五、空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity) -------- 算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

回顾下 时间复杂度 -------- “时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,算法的执行时间与数据规模之间的增长关系

  • // 举个例子
    void print(int n) {
        int i = 0;
        int[] a = new int[n];    // 申请一个 n 大小的int 类型的数组
        for (i; i <n; ++i) {
            a[i] = i * i;
        }
    
        for (i = n-1; i >= 0; --i) {
            print out a[i]
        }
    }

除了第三行之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)

像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到

而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了

 

posted @ 2020-01-31 17:37  耶梦加德  阅读(307)  评论(0编辑  收藏  举报