递归与分治

递归

递归的定义

直接递归调用：

间接递归调用：

　编写递归函数时，必须告诉它何时停止递归。正因为如此，每个递归函数都有两部分：基线条件（base case）和递归条件（recursive case）。递归条件指的是函数调用自己，而基线条件则指的是函数不再调用自己，从而避免形成无限循环。
　　我们来给函数countdown添加基线条件。

def countdown(i): 
    print i 
    if i <= 0:#基线条件
        return 
    else:#递归条件
        countdown(i-1)

非递归实现阶乘函数：

递归程序：

def f(n):
    if n<=1:
        return n
    return f(n-1)+f(n-2)

非递归程序（两种方式）：

def Fibonacci(self, n):
        a = [0,1]
        if n<2:
            return a[n]
        for i in range(2,n+1):
            a.append(a[i-1]+a[i-2])
        return a[n]

def f(n):
    if n<=1:
        return n
    else:
        pre,now = 0,1
        for i in range(2,n+1):
            next = pre + now
            pre = now
            now = next
        return next

#递归
def isHuiWen(str):
    if len(str)<=1:
        return True
    if str[0] !=str[-1]:
        return False
    return isHuiWen(str[1:-1])
print(isHuiWen('qwswq'))

#非递归
def isHuiWen2(str):
    if len(str)<=1:
        return True
    for i in range(len(str)):
        if str[i] != str[len(str)-1-i]:
            return False
    return True

注：调用栈不仅对编程来说很重要，使用递归时也必须理解这个概念

分治

　　上部分深入介绍了递归，以下使用学到的新技能来解决问题。我们将探索分而治（divide and conquer，D&C）——一种著名的递归式问题解决方法。
　　快速排序。快速排序是一种排序算法，属于D&C算法。

分而治之

　　D&C并不那么容易掌握，首先，介绍一个直观的示例；然后，介绍一个代码示例，它不那么好看，但可能更容易理解。
　　假设你是农场主，有一小块土地。

　　你要将这块地均匀地分成方块，且分出的方块要尽可能大。显然，下面的分法都不符合要求。

　　如何将一块地均匀地分成方块，并确保分出的方块是最大的呢？使用D&C策略！D&C算法是递归的。使用D&C解决问题的过程包括两个步骤。
　　　　(1) 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
　　　　(2) 不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。
　　下面就来使用D&C找出前述问题的解决方案。可你能使用的最大方块有多大呢？
　　首先，找出基线条件。最容易处理的情况是，一条边的长度是另一条边的整数倍。
　　如果一边长25 m，另一边长50 m，那么可使用的最大方块为 25 m×25 m。换言之，可以将这块地分成两个这样的方块。
　　现在需要找出递归条件，这正是D&C的用武之地。根据D&C的定义，每次递归调用都必须缩小问题的规模。如何缩小前述问题的规模呢？我们首先找出这块地可容纳的最大方块。

　　你可以从这块地中划出两个640 m×640 m的方块，同时余下一小块地。现在是顿悟时刻：何不对余下的那一小块地使用相同的算法呢？
　　最初要划分的土地尺寸为1680 m×640 m，而现在要划分的土地更小，为640 m×400 m。适用于这小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块。换言之，你将均匀划分1680 m×640 m土地的问题，简化成了均匀划分640 m×400 m土地的问题！

　　下面再次使用同样的算法。对于640 m × 400 m的土地，可从中划出的最大方块为400 m × 400 m。这将余下一块更小的土地，其尺寸为400 m × 240 m。

　　你可从这块土地中划出最大的方块，余下一块更小的土地，其尺寸为240 m × 160 m。

　　接下来，从这块土地中划出最大的方块，余下一块更小的土地。
　　余下的这块土地满足基线条件，因为160是80的整数倍。将这块土地分成两个方块后，将不会余下任何土地！

　　因此，对于最初的那片土地，适用的最大方块为80 m× 80 m。

　　这里重申一下D&C的工作原理：
　　　　(1) 找出简单的基线条件；
　　　　(2) 确定如何缩小问题的规模，使其符合基线条件。
　　D&C并非可用于解决问题的算法，而是一种解决问题的思路。我们再来看一个例子。

　　给定一个数字数组。你需要将这些数字相加，并返回结果。使用循环很容易完成这种任务。

def sum(arr): 
    total = 0 
    for x in arr: 
        total += x 
        return total 
print sum([1, 2, 3, 4])

　　但如何使用递归函数来完成这种任务呢？
　　第一步：找出基线条件。最简单的数组什么样呢？请想想这个问题，再接着往下读。如果数组不包含任何元素或只包含一个元素，计算总和将非常容易。
　　因此这就是基线条件。
　　第二步：每次递归调用都必须离空数组更近一步。如何缩小问题的规模呢？下面是一种办法。
　　这与下面的版本等效。
　　这两个版本的结果都为12，但在第二个版本中，给函数sum传递的数组更短。换言之，这缩小了问题的规模！