20213901 田铭庚 信2105-3

对于正数而言，反码、补码、和原码是一样的。对于负数而言、反码是原码中除去符号位，其他数值位按位取反，即0变成1，1变成0；补码是反码+1。在计算机中运用补码可以简化计算机的操作步骤，因为直接用原码涉及到减法操作，这就增加了计算机底层电路涉及的复杂性。而用补码操作时，当减去一个数时，可以看做加上一个负数，然后转变位加上这个负数的补码。即1-1=（-1）=0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了，并且补码还可以在计算机的计算中可以直接带上符号位进行计算。例如，其中 40 的补码为：0010 1000

-13的补码为：1111 0011

因此实际的运算过程就可以直接带符号位进行相加，同时，如果最高位（符号位）有进位，则舍弃。

0010 1000 + 1111 0011 = 1 0001 1011

这里最高符号位的进位可以舍弃，因为8位2进制，能表示的数在-128~127之间。而1 0001 1011 = 283，将283转化到这个范围中即为：

283 % 256 = 27。

其实也相当于 0001 1011. 所以符号位的最高进位可以舍去。在计算机中，利用补码的方式进行运算，就可以解决直接用原码来计算得到的结果是错误的问题，也解决了减法的问题。而根据所给的负数去得到它对应的补码的过程，就是找到一个正数来代替其负数的过程。。

 计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

 

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

 

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

下面是关于mod运算的数学定义:

 

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7