声明
笔者最近意外的发现 笔者的个人网站 http://tiankonguse.com/ 的很多文章被其它网站转载,但是转载时未声明文章来源或参考自 http://tiankonguse.com/ 网站,因此,笔者添加此条声明。
郑重声明:这篇记录《【百度之星2014~初赛(第二轮)解题报告】Chess》转载自 http://tiankonguse.com/ 的这条记录:http://tiankonguse.com/record/record.php?id=667
前言
最近要毕业了,有半年没做比赛了.
这次参加百度之星娱乐一下.
现在写一下 Chess 这道题的的解题报告.
正文
题意
题意很简单,告诉你一个矩阵,以及一个起始坐标.
问走k步有多少个不同的路线.
一个路线可以记为上下左右,则k步有k个上下左右,比如 "上上左左下下" 是一个路线.
分析
矩阵的大小是1000*1000, k = 1000, 如果使用搜索肯定不行.
起始很容易往矩阵幂这个方向上想,但是状态太多了, 1000*1000 个状态,行不通.
当时我也考虑分行和列来做,但是就差那么一步就不向下想了.
网上找了一个解题报告,这个解题报告的分析很简单,只有一句话:可以很容易发现行和列是独立的。
好吧!看到这句话我瞬间会做这道题了.
接下来我就具体写写推算公式给大家.
如果是暴力的话,答案应该是
ans = sum( Count(i, j, k) );
其中 Count(i, j, k) 代表 从(x, y) 走 k 步到 坐标(i, j) 的路径个数.
对于 Count(i, j, k) 我们怎么求出来呢?
假设从(x, y) 走 k 步到 坐标(i, j)时, 我们有 t 步是上下移动的, k - t 步是左右移动的,也就是 k 步中有 t 步是上下移动的,及 C(k, t) 吧.
于是我们可以得带这个公式了.
Count(i, j, k) = sum(C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t) )
其中 C(k, t) 是组合数
Count(i, t) 代表从数轴x 只上下移动走 t 步到达 数轴 i 的路线数,当然,由于是上下,有个上界n,最大行数.
对应这 Count(j, k-t ) 代表从数轴 y 只左右移动走 k - t 步 到达 j 的路线数, 上界是 m, 最大列数.
我们把这个公式带入暴力公式可以得到
ans = sum( C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t) )
其中 0<=t<=k, 1<=i<=n, 1<=j<=m.
然后我们把 i 展开可以得到
ans = sum( C(k, t) * Count(1, t) * Count(j, k- t) +C(k, t) * Count(2, t) * Count(j, k- t) + ... +C(k, t) * Count(n, t) * Count(j, k- t) )
再提取公因式,可以得到
ans = sum( C(k, t) * Count(j, k - t) * sum(Count(i, t)) )
同理,可以把 j 展开
ans = sum( C(k, t) * Count(1, k - t) * sum(Count(i, t)) +C(k, t) * Count(2, k - t) * sum(Count(i, t)) +... +C(k, t) * Count(m, k - t) * sum(Count(i, t)) )
这个也可以提取公因式
ans = sum(C(k, t) * sum( Count(j, k-t ) ) * sum( Count( i, t ) ))
我们可以看到,对于 C(k, t) 是组合数,可以预处理得到.
对于 Count(i, t) 和 Count(j, k-t ) 我们都可以使用 O(n^2) 的预处理得到.
然后我们再使用O(n) 的预处理可以得到 sum( Count(j, k-t) ) 和 sum( Count(i, t) ).
最后我们使用 O( k ) 的复杂度得到它们的乘积即可.
代码
/************************************************************************* > File Name: 2.2.cpp > Author: tiankonguse > Mail: i@tiankonguse.com > Created Time: Mon 26 May 2014 11:31:15 AM CST ***********************************************************************/ #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<stack> #include<algorithm> #include<functional> #include<stdarg.h> using namespace std; #ifdef __int64 typedef __int64 LL; #else typedef long long LL; #endif const int N = 1111; int map[4]= {-2,-1,1,2}; LL C[N][N]; LL mod = 9999991; LL str[2][N][N], sum[2][N]; void getC() { memset(C,0,sizeof(C)); C[0][0] = 1; for(int i = 1; i < N; i++) { C[i][0] = C[i][i] = 1; for(int j = 1; j < i; j++) { C[i][j] =( C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod; } } } void DP(LL str[N][N], LL sum[N], int x, int n, int k) { str[0][x] = 1; sum[0] = 1; for(int t=1; t<=k; t++) { for(int i=2; i<=n; i++) { for(int kk=0; kk<4; kk++) { str[t][i] = (str[t][i] + str[t-1][i+map[kk]]) % mod; } sum[t] = (sum[t] + str[t][i]) % mod; } } } LL get(int k, int i) { return ((C[k][i] * sum[0][i] % mod) * sum[1][k-i] % mod); } int main() { getC(); int t,n,m,k,x,y; LL ans; scanf("%d",&t); for(int tt=1; tt<=t; tt++) { scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&x,&y); n++,m++,x++,y++; memset(str,0,sizeof(str)); memset(sum,0,sizeof(sum)); DP(str[0], sum[0], x, n, k); DP(str[1], sum[1], y, m, k); ans = 0; for(int i = 0; i <= k; i++) { ans = (ans + get(k, i))%mod; } printf("Case #%d:\n%lld\n",tt,ans); } return 0; }
参考
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4832
http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3751404.html